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Cap. 8 Dinámica de rotación.

CAPITULO 8. DINAMICA DE ROTACIÓN.
Cuando un objeto real gira alrededor de algún eje, su movimiento no se puede
analizar como si fuera una partícula, porque en cualquier instante, diferentes
partes del cuerpo tienen velocidades y aceleraciones distintas. Por esto es conveniente considerar al objeto real como un gran número de partículas, cada
una con su propiavelocidad, aceleración. El análisis se simplifica si se considera al objeto real como un cuerpo rígido. En este capítulo se tratará la rotación de un cuerpo rígido en torno a un eje fijo, conocido como movimiento
rotacional puro.

8.1 ENERGÍA CINÉTICA DE ROTACIÓN.
Para un cuerpo rígido formado por una colección de partículas que gira alrededor del eje z fijo con velocidad angular ω, cadapartícula del cuerpo rígido
tiene energía cinética de traslación. Si la partícula de masa mi, se mueve con
velocidad vi, su energía cinética es:

E ci =

1
mi vi2
2

Cada partícula del cuerpo rígido tiene la misma velocidad angular ω, pero distintas velocidades lineales, porque estas dependen de la distancia r al eje de
rotación, y se relacionan por vi = ω ri. Entonces la energía cinética dela partícula i es:

Ei =

1
1
2
mi (riω ) = mi ri2ω 2
2
2

La energía cinética total del cuerpo rígido en rotación es la suma de las energías cinéticas de cada partícula individual, esto es:

215

Cap. 8 Dinámica de rotación.

1
1⎛ 1
⎞
Ei = ∑ Ei = ∑ mi ri2ω 2 = ⎜ ∑ mi ri2 ⎟ω 2
2
2⎝ 2
⎠
donde se factorizó ω2 porque es la misma para todo el cuerpo rígido. A la cantidad entreparéntesis en la ecuación anterior se la define como el momento de
inercia, I, del cuerpo rígido:

I = ∑ mi ri2
De la definición momento de inercia, sus unidades de medida en el SI son
kg·m2. Con esta definición, se puede escribir la energía cinética de rotación de
un cuerpo rígido como:

Ec =

1 2
Iω
2

(8.1)

La energía cinética de rotación no es un nueva forma de energía, sinoque es el
equivalente rotacional de la energía cinética de traslación, se dedujo a partir de
esa forma de energía. La analogía entre ambas energías ½ mv2 y ½ Iω2 es directa, las cantidades I y ω del movimiento de rotación son análogas a m y v del
movimiento lineal, por lo tanto I es el equivalente rotacional de m (algo así
como la masa de rotación), y siempre se considera como una cantidadconocida, igual que m, por lo que generalmente se da como un dato. Pero existen
técnicas del calculo integral para calcular I, y teoremas asociados, que no se
usarán en este curso.
El momento de inercia I es una cantidad que depende del eje de rotación, el
tamaño y la forma del objeto. En la siguiente tabla 8.1 se dan los momentos de
inercia respecto al centro de masa de figuras geométricasconocidas, de distribución de masa homogénea, cuando giran en torno al eje que se indica.

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Cap. 8 Dinámica de rotación.

TABLA 8.1
Objeto (de masa M)
Aro o cascarón cilíndrico de radio R, eje de rotación por
su eje de simetría
Disco o cilindro sólido de radio R, eje de rotación por
su eje de simetría
Cilindro hueco, de radios interno R1 y externo R2, eje de
rotación por su eje desimetría
Esfera sólida de radio R, eje de rotación por su eje de
simetría
Cascarón esférico delgado de radio R, eje de rotación
por su eje de simetría
Barra delgada de largo L, con eje de rotación por el
centro
Barra delgada de largo L, con eje de rotación en el extremo
Placa rectangular de lados a y b, eje rotación en el centro perpendicular a la placa

Icm

MR 2
1
MR 2
2

(

1
22
M R1 + R2
2
2
MR 2
5
2
MR 2
3
1
ML2
12
1
ML2
3
1
M a 2 + b2
12

(

)

)

8.2 RELACIÓN ENTRE TORQUE Y ACELERACIÓN ANGULAR.

Para una partícula de masa m, que gira como se muestra en la figura 8.1, en
una circunferencia de radio r con la acción de una fuerza tangencial Ft, además de la fuerza centrípeta necesaria para mantener la rotación. La fuerza tangencial se...