fisica 2

UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´
IA
´
CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´
IA.
Problema de Vaciado de Tanques
Segundo Semestre 2013
´
Paulo Alvarez - Sergio Jara - Ana Mar´ Ruiz
ıa
Muchos problemas f´
ısicos dependen de alguna manera de la geometr´ Uno de ellos es la salida
ıa.
de l´
ıquido de un tanque a trav´s de un orificiosituado al fondo del mismo. La forma geom´trica del
e
e
recipiente determina el comportamiento f´
ısico del agua.
Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a trav´s
e
de un orificio de secci´n transversal a, el cual est´ ubicado en la base del tanque. Se desea estao
a
blecer la altura de l´
ıquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que estedemora en vaciarse.
Sea h(t) la altura de l´
ıquido en el tanque en cualquier instante t y V (t) el volumen de agua del
tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a trav´s del orificio es:
e
v

2gh

=

(1)

donde g es la gravedad. La ecuaci´n (1) representa la velocidad que una gota de agua adquirir´
o
ıa
al caer libremente desde la superficie del agua hasta elagujero.
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracci´n que sufre un chorro de agua en
o
un orificio, por lo que se tendr´
a
v

= c 2gh

(2)

donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 (0 < c < 1).
Observaci´n: Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1
o
Seg´n la Ley de Torricelli, la raz´n con la que el agua sale por elagujero (variaci´n del volumen
u
o
o
de l´
ıquido en el tanque respecto del tiempo) se puede expresar como el ´rea a del orificio de salida
a
por la velocidad v del agua drenada, esto es:
dV
dt

= −av

(3)

sustituyendo la ecuaci´n (2) en la ecuaci´n (3)
o
o
dV
dt

= −ac 2gh

(4)

Si A(h) denota el ´rea de la secci´n transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicandoel
a
o
m´todo del volumen por secciones transversales se obtiene
e
h

V

=

A(h)dh

(5)

0

derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del c´lculo
a
dV
dt

dh
dt

(6)

−ac 2gh

(7)

= A(h)

Comparando las ecuaciones (3) y (5)
A(h)

dh
dt

=

1

Ley de Torricelli
Sean h la altura de l´
ıquido en el tanque en cualquier instante t, a el´rea del orificio de salida el
a
cual esta ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, c el coeficiente de descarga y A(h) el ´rea de la
a
secci´n transversal del tanque. La ecuaci´n diferencial asociada al problema de vaciado del tanque
o
o
es
A(h)

dh
dt

= −ac 2gh

Esta es una ecuaci´n diferencial de variables separables, la cual al resolverse sujeta a la condici´n
o
o
de conocerla altura inicial h0 para el tiempo t = 0, permite obtener la ley de variaci´n de la altura
o
de l´
ıquido en el tanque en funci´n del tiempo.
o
Si, adem´s, hay aporte de l´
a
ıquido al tanque, la ecuaci´n diferencial es
o
A(h)

dh
dt

= Q − ac 2gh

Unidades y Notaciones
Elemento
Altura
Volumen
Tiempo
Gravedad
´
Area del orificio de salida
´
Area de la secci´n transversal
oCoeficiente de descarga

Notaci´n
o
h(t)
V (t)
t
g
a
A(h)
c

2

cm
cm3
s
980 cm/s2
cm2
cm2

Unidades
m
pies
m3
pies3
s
s
9,8 m/s2 32 pies/s2
m2
pies2
m2
pies2
Sin unidades

Ejemplo 1
El tanque que se muestra en la figura est´ totalmente lleno de l´
a
ıquido. Se inicia el proceso de vaciado, por una perforaci´n circular de ´rea 1 cm2 ubicada en la baseinferior del dep´sito. Si se ha
o
a
o
establecido el coeficiente de descarga k = 0,447 y la gravedad es g = 10 m/s2 .

Determine:
a) Tiempo que debe transcurrir para que quede en el tanque un contenido equivalente al 18,75 % de
su capacidad.
Soluci´n:
o
Primeramente cambiar a S.I. el ´rea de la perforaci´n, entonces a = 10−2 m.
a
o
Definici´n de variables:
o
h (t) : Altura del l´
ıquido...