fisica 6

Sistema de partículas

Hugo Medina Guzmán

CAPÍTULO 6. SISTEMA DE PARTÍCULAS
La selección del contorno de un sistema es similar a
seleccionar un sistema de coordenadas.

INTRODUCCIÓN

SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADA A
UN SISTEMA DE PARTICULAS

Hasta ahora hemos estado estudiando el movimiento
de los objetos cualquiera que sea sin considerar su
estructura. Ahora demostraremos que loestuvimos
haciendo bien considerando al objeto sin tomar en
cuenta las fuerzas que actúan sobre sus partes.
Introduciremos el concepto de centro de masa de un
sistema de partículas, también se introducirá el
concepto de cantidad de movimiento y se demostrará
que este se conserva cuando el sistema se encuentra
aislado de los alrededores,

La figura siguiente muestra un sistema de npartículas
de masas m1, m2, …..mn, con posiciones especificadas
→

→

→

por r 1 , r 2 , …………. r n ,, respectivamente.

SISTEMA DE PARTICULAS

La segunda ley de Newton para la partícula mi es:
→

→

→

→

F i = m a i = F iexter + F i int
Donde:
→

La figura muestra un sistema de partículas compuesto
de tres masas. En el sistema existen dos tipos de
fuerzas,

F i int = suma delas fuerzas internas sobre mi
→

F i ext = suma de las fuerzas externas sobre mi

a) Las fuerzas externas como la atracción
gravitacional de la tierra por ejemplo.

La suma de las fuerzas internas sobre la masa mi es:

b) Las fuerzas internas que las partículas ejercen unas
sobre otras (estas fuerzas pueden ser gravitacionales,
e1éctricas, etc.)

→

→

→

→

n

→

F 1int= F 12 + F 13 + ............ F 12 = ∑ Fij
( j ≠i )

En general para la partícula i es:
→

n

→

F i int = ∑ Fij
( j ≠i )

La fuerza total para el sistema es:
i =n →

i =n

i =1

i =1

→

i =n →

n

n

→

∑ Fi = ∑ m a i = ∑ F i ext + ∑∑ Fij
En la figura hemos cambiado el contorno del sistema,
excluyendo la masa m3. Como Una Consecuencia de
esto las fuerzasinternas Sobre m1 y m2 debido a m3 ya
no son internas, se han sumado a las fuerzas externas
previas, produciendo una nueva fuerza resultante.

i =1

i =1 ( j ≠i )

Por la tercera ley de Newton cada una de las fuerzas
→

→

Fij tiene un F ji igual, pero de sentido contrario
1

Sistema de partículas

→

Hugo Medina Guzmán

→

1
Δmi →0 M

Fij = − F ji

xCM = lim
n

→

n∑(

De modo que

∑ Fij = 0

n

∑ x Δm
i =1

i

i

=

1
xdm
M∫

De igual forma se obtiene:

i = 0 j ≠ i )=1

1 n
1
∑ yi Δmi = M ∫ ydm ,
Δmi →0 M
i =1
1 n
1
z CM = lim
∑ z i Δmi = M ∫ zdm y
Δmi →0 M
i =1
→
1 →
rCM =
r dm
M∫
y CM = lim

Consecuentemente solo queda
n

→

→

n

∑ mi ai = ∑ Fi ext o
i =1

i =1

n
→
→
d2 n
mi ri = ∑ Fi ext
∑dt 2 i =1
i =1

CENTRO DE MASA

MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA.

Frecuentemente es muy práctico reemplazar un
sistema de muchas partículas con una partícula
simple equivalente de masa igual. La pregunta es
donde colocar esta partícula simple con respecto al
origen de x e y.
Definamos el vector posición del centro de masa por
la ecuación:

→

rCM =

i =1
n

∑m

i =1

rin
n
→
→
→
→
d2
M rCM = ∑ Fiext ⇒ M aCM = ∑ Fiext
dt 2
i =1
i =1

n

i =1

i

= M (masa total de las n

→

El punto indicado por rCM , vector posición del

partículas).

→

i =1

centro de masa, se mueve se mueve como si en el
estuviera concentrada toda la masa y las fuerzas
externas del sistema.

→

n

rCM =

→

ri = M rCM

Obtendremos la ecuación delmovimiento del centro
de masa

i

∑m

∑m

i

→
i

∑m

Llamando a

→

n

Sustituimos

i =1

n

∑m

n
→
→
d2 n
mi ri = ∑ Fiext
2 ∑
dt i = 0
i =1

Si en la ecuación:

i

ri

Ejemplo 1. Centro de masa de tres masas
puntuales.

M
→

Como

ˆ
ˆ
rCM = xCM i + y CM ˆ + z CM k
j

Tenemos que: xCM =

yCM =

1
M

n

1
M

n

∑m x ,
i =1...