Fisica apuntes

´ ´ CURSO DE METODOS DE LA F´ ISICA MATEMATICA TEOR´ DE GRUPOS IA

H. FALOMIR DEPARTAMENTO DE F´ ISICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP

Actualizado el 5 de febrero de 2008.

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´ Indice NOTAS SOBRE TEOR´ DE GRUPOS IA 1. Generalidades 2. Grupo de permutaciones 3. Homomorfismo - Representaciones 4. Subgrupos 5. Clases de elementos conjugados 6. Subgrupos invariantes 7. El grupo cociente8. Producto directo de grupos 9. Automorfismo - Centro de un grupo 10. Espacios cl´sicos a 11. Operadores isom´tricos e 12. Principales grupos de matrices NOTAS SOBRE REPRESENTACIONES MATRICIALES ´ ´ EN MECANICA CUANTICA 13. El caso de una part´ ıcula en un potencial par 14. El caso de una part´ ıcula en un potencial central 15. Grupos de simetr´ ıas NOTAS SOBRE REPRESENTACIONES MATRICIALES DEGRUPOS DE ORDEN FINITO 16. Representaciones equivalentes - Caracteres 17. Representaciones irreducibles 18. Representaciones unitarias 19. Relaciones de ortogonalidad para grupos de orden finito 20. Caracteres simples - Teorema de Burnside ´ 21. Algebra de un grupo de orden finito 22. Producto directo de representaciones NOTAS SOBRE GRUPOS CONTINUOS 23. Grupos continuos 24. Grupos conexos - Grupos deLie 25. Propiedades globales de grupos conexos 39 39 40 44 46 49 57 60 64 64 68 69

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26. Grupo de cubrimiento universal NOTAS SOBRE ALGEBRAS Y GRUPOS DE LIE 27. Introducci´n a las ´lgebras de Lie o a 28. Algebras de Lie de los grupos SU (2) y SO(3) 29. Algebras de Lie de otros grupos de matrices 30. Medida de integraci´n invariante o 31.Medida invariante para los grupos SO(3) y SU (2) 32. Representaciones unitarias irreducibles del grupo SU (2) 33. Producto directo de representaciones. Descomposici´n de Clebsh o Gordan 34. Clasificaci´n de las ´lgebras de Lie simples o a NOTAS SOBRE EL GRUPO DE LORENTZ 35. El grupo de Lorentz ´ 36. Algebra de Lie del subgrupo propio ort´crono L↑ o + 37. Representaciones irreducibles (del grupo decubrimiento) de 38. Grupo de cubrimiento de L↑ + 39. Algebra de Lie del grupo SL(2, C). Representaciones L↑ +

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NOTAS SOBRE TEOR´ DE GRUPOS IA

1.

Generalidades

Un grupo G es un conjunto de elementos sobre los cuales hay definida una ley de composici´n, · : G × G → G, que es asociativa, con neutro e inverso, es decir, o a) f· (g · h) = (f · g) · h, ∀ f, g, h ∈ G, b) ∃ e ∈ G, llamado elemento neutro o identidad, que satisface e · g = g · e = g, ∀ g ∈ G, c) ∀ g ∈ G, ∃ g −1 ∈ G, llamado su inversa, que satisface g · g −1 = g −1 · g = e. Evidentemente, si f ·g = h·g entonces f = h. En efecto, (f ·g)·g −1 = f ·(g·g −1 ) = (h · g) · g −1 = h · (g · g −1 ) ⇒ f = g. Similarmente, se puede demostrar que el neutro y elinverso de cualquier elemento son unicos. Por ejemplo, si g · f = e ⇒ g −1 · (g · f ) = (g −1 · g) · f = ´ e · f = g −1 · e ⇒ f = g −1 . En consecuencia, (f · g)−1 = g −1 · f −1 , puesto que (f · g) · (g −1 · f −1 ) = f · (g · g −1 ) · f −1 = f · f −1 = e. En general, la ley de composici´n no es conmutativa: f · g = g · f . Un grupo G o para el cual f · g = g · f, ∀ f, g ∈ G se dice Abeliano. Ejemplos:el grupo aditivo de los enteros respecto de la operaci´n de suma usual, Z; o el conjunto de los racionales no nulos, Q\{0}, respecto de la operaci´n o usual de multiplicaci´n; o el conjunto {1, −1} respecto de la operaci´n de multiplicaci´n de reales; o o el conjunto de las rotaciones de un cuerpo. El orden de un grupo es el n´mero de elementos que contiene. El orden puede u finito o infinito. 2.Grupo de permutaciones

Consideremos una permutaci´n de cinco elementos, o (2.1) {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } → {a2 , a3 , a1 , a5 , a4 } .

Independientemente de la naturaleza de esos elementos, esta operaci´n puede ser o representada por el siguiente cuadro de n´meros que indica, sobre cada columna, u

Teor´ de grupos ıa

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la posici´n inicial y final de un elemento, o (2.2) σ= 1 2 3 4 5...