Fisica Basica Problemas

El pistón de un motor de combustión interna se mueve a una velocidad que, entre 0 y 2 segundos viene dada para la expresión v(x)=(2-x)ex. , donde xes el tiempo en segundos y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en qué momento del intervalo 0,2 circula la velocidad máxima ycalcular dicha velocidad, ¿en qué periodos gano velocidad y en cuales redujo?¿ se detuvo alguna vez?
SOLUCIÓN
Nos piden q estudiemos el crecimiento ydecrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva lafunción crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0(condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.ex + ex.(2-x)= -ex + 2 ex- x .ex = ex- x.ex, sacando factor común ex se llega a: v’(x)=((1-x)ex
Igualando a 0 nos da (1-x).ex =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q ex nunca puedeser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1

v ‘ + 1 - 2
y crece decrece

Por lo tanto en x=1hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:
v(x)=(2-x)ex
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
v(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo.