Fisica - Cinemática

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE FISICA

FISICA I
FIS101M
Sección 03

José Mejía López
jmejia@puc.cl

http://www.fis.puc.cl/~jmejia/docencia/fis101m.html
JML fis101m-2010
fis101m-

Capítulo 1

Cinemática
Movimiento en dos dimensiones

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¿Cómo analizamos el movimiento en dos dimensiones? (2-D)

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∆res la magnitud del desplazamiento del objeto

r
r
r
∆r = ∆ x i + ∆ y j

∆r = ∆ x 2 + ∆ y 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2

∆x = ∆r cos α

∆y = ∆r sen α

Mientras que la velocidad sería

∆ x2 + ∆ y2
∆ x2 ∆ y 2
∆r
+
=
v=
=
∆t
∆t
∆t
∆t
i.e.

v = v2 + v2
x
y
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con

vx =

∆x
∆t

y

vy =

∆y
∆t

Un objeto parte de una gasolinera.20 s después se encuentra a 2m este
y 3m norte de la gasolinera, mientras que 40 s después se encuentra a
6m este y 4m norte. ¿Cuál es el vector desplazamiento y su velocidad?
Datos:

x1 = 2 m
y1 = 3 m

x2 = 6 m
y2 = 4 m

t1 = 20 s

t2 = 40 s

Desplazamiento:

r
r
r r r
∆ r = r2 − r1 = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j
r
r
= (4 m) i + (1 m) j 4 m este, 1 m norte
∆r = ∆ x 2 + ∆ y2 = 16 m 2 + 1 m 2 = 4.12 m
Velocidad media:

r
r
r
r
r
v = v x i + v y j = (0.2 m/s) i + (0.05 m/s) j

v = v 2 + v 2 = 0.04 m 2 /s 2 + 0.025 m 2 /s 2 = 0.21 m/s
x
y
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Movimiento en 2-D, bajo aceleración de gravedad
Con un sistema de coordenadas en que el
eje Y está en la dirección de la vertical hacia
arriba, la aceleración de gravedad apunta endirección negativa del eje Y

Y

r
g
X

Las ecuaciones cinemáticas de un objeto que se mueve
sobre la superficie de la Tierra, sin considerar efectos de
roce con el aire, son

x(t ) = x0 + v 0 x t

v x (t ) = v 0 x

y (t ) = y0 + v 0 y t − 1 gt 2
2

v y (t ) = v 0 y − gt

Las coordenadas x e y que describen la posición del objeto en
función del tiempo son independientes una deotra
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Vy
v0y
Leonardo da Vinci

r
v0
θ

Lanzamiento desde el origen de un proyectil con
r
velocidad inicial v 0

se tiene:

v0x

Vx

v0x = v0 cos θ
v0y = v0 sen θ

luego:
x(t ) = v0 x t = v 0 cos θ t
y (t ) = v0 y t −

v x (t ) = v 0 x = v 0 cos θ

1 2
1
g t = v 0 sen θ t − g t 2
2
2

v y (t ) = v 0 y − g t = v 0 sen θ − g t

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r
Dado v 0 nos interesa conocer la altura máxima hmax, el alcance d y el tiempo de vuelo
tv
altura máxima ⇒ vy = 0, que ocurre en t = th ⇒
Reemplazando en y(t) ⇒

hmax =

v0
sen(θ )
g

2
vo
sen 2 θ
2g

Alcance máximo ⇒ y = 0, que ocurre en t = tv ⇒

Reemplazando en x(t) ⇒

ts =

tv ≡ 2t s =

2v 0
sen θ
g

2
2
vo
vo
d = 2 sen(θ ) cos(θ ) = sen (2θ )
g
g

La trayectoria es y(x) ⇒ despejando el tiempo en x(t) y reemplazándolo en y(t)

y ( x ) = tan θ ⋅ x −
que tiene la forma
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g
⋅ x2
2
2 v cos θ

y(x) = ax + bx2

2
o

y corresponde a una parábola

y ( x ) = tan θ ⋅ x −

g
⋅ x2
2
2 v cos θ
2
o

2
vo
sen 2θ
=
2g

hmax

d=

2
vo
sen( 2θ )
g

d = dmax si θ = 45°

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Un bombero, a distancia 5 m de un edificio en llamas, dirige un chorro de
agua desde una manguera que hace un ángulo de 30° sobre la horizontal.
Si la rapidez inicial del chorro es 20 m/s, ¿a qué altura golpea el agua en
el edificio?
Datos:
(5,h)

d=5m
θ = 30°
v0 = 20 m/s

v0
θ

d

x(t ) = v 0 x t
1
y (t ) = y0 + v 0 y t − g t 2
2
t=

en este caso5 = 20 cos 30° t = 17.32 t

1
h = 0 + 20 sen 30° t − (9.8) t 2
2
Entonces

5
= 0.29 s ⇒ h = 10(0.29) − 4.9(0.29 2 )
17.32

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= 2.49 m

La fuerza aérea quiere destruir un abastecimiento de armas enemigas.
Para esto utilizan un avión que vuela a una velocidad de 200 m/s y a una
altura de 1 km. ¿A qué distancia del objetivo se debe disparar el proyectil?...