fisica cuantica

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
FISICA CUANTICA
Búsqueda aproximada del
estado base en el problema
de doble caja con separación
finita: elementos cualitativos
del enlace electrónico.
OSCAR MIGUEL BERMEJO GALLARDO

El doble barrera de potencial es el caso del pozo de potencial doble. Esencialmente, son dos pozos de potencial separados por una barrera de potencial intermedia. Acontinuación se muestra una ilustración de un potencial de este tipo en donde ambos pozos que supondremos rectangulares tienen la misma anchura a y la barrera intermedia de separación entre ambos pozos tiene una anchura b (cada pozo de potencial puede tener una anchura diferente, y del mismo modo cada pozo de potencial puede tener una profundidad diferente):







Intuitivamente, podemos suponer quedentro de cada pozo de potencial rectangular se podrá admitir una cantidad finita de estados discretos de energía, con el estado de energía basal en cada pozo ocupando el nivel más bajo (cerca del fondo del pozo). La cantidad de estados discretos de energía dependerá de la profundidad de los pozos, con un gran número de estados discretos cuanto mayor sea la profundidad del pozo. Del mismo modo,intuitivamente, podemos suponer que en el caso en el cual la anchura de la barrera que separa ambos pozos tiende a cero hasta el punto de desvanecerse, o sea cuando b.→.0, se tendrá el equivalente de un solo pozo de potencial de anchura 2a. Y si la anchura de la barrera que separa ambos pozos es muy grande, o sea cuando b.→.∞, se tendrán dos pozos de potencial

Mediante la solución de la ecuaciónde Schrödinger, y tomando el caso en el cual la anchura de la barrera es igual a cero, se tiene un solo pozo de potencial rectangular. Suponiendo que la profundidad de dicho pozo sea suficiente para admitir dos estados discretos, el estado basal E1 y el primer estado excitado E2, al estado basal le corresponderá una función de onda ψ1(x) que dentro del pozo debe ser el equivalente aproximado deuna media longitud de onda (correspondiendo a una solución par de la ecuación de onda, sin un nodo en el punto intermedio central del pozo en donde la función de onda pudiera tomar el valor de cero), mientras que al primer estado excitado le corresponderá una función de onda ψ2(x) que dentro del pozo debe ser el equivalente aproximado de una longitud de onda completa (correspondiendo a una soluciónimpar de la ecuación de onda, con un nodo en el punto intermedio central del pozo en donde la función de onda toma el valor de cero). Puesto que el pozo de potencial de anchura 2a no tiene las paredes verticales infinitamente altas, “algo” de la función de onda ψ1(x) así como de la función de onda ψ2(x) deberá “escaparse” hacia los lados fuera del pozo.

Esto es lo que corresponde a unasolución que en el exterior del pozo tiene un decaimiento exponencial mientras que en el interior del pozo tiene un comportamiento cosenoidal para ψ1(x) y senoidal para ψ2(x).

En las figuras que se muestran a continuación, las regiones de color azul claro son las que corresponden a la solución de decaimiento exponencial:



Supóngase que ahora se interpone una barrera de potencial de anchura muypequeña en el centro del pozo de potencial, una barrera casi inexistente pudiendo tomarse como una línea vertical imaginaria. El pozo de anchura 2a queda efectivamente subdividido en dos mitades iguales de anchura a cada una de ellas. Cada mitad tendrá dos niveles energéticos E1 y E2 por encima del potencial V0, iguales en magnitud a los niveles energéticos del pozo de anchura 2a. Las energías paralos estados discretos de un pozo de potencial de anchura 2a pueden ser aproximadas mediante la relación que se obtuvo arriba:




La energía del estado basal será:



mientras que la energía del primer estado excitado será:




siendo:



Para el caso en el cual la barrera de separación entre ambos pozos no es muy grande, ni siquiera grande, por ejemplo cuando b.≈.a, la...