Fisica Cuantica

2012
Bustamante Coronado Anthony
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
18/07/2012

Ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD NACIONAL
PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

Asignatura: ANÁLISIS IV

Temas:
* Función gama
* Función beta
* E. D. de Bessel
* E. D. de Legendre


Docente: LIC.BLAS REBAZA JUANA


Ciclo Académico: 2011 II


Ciclo de Estudio: IV Ciclo


Responsable: Bustamante Coronado Anthony 100094-H

Función gama

Fundamento teórico
En matemáticas, la función Gamma: G(z) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real delnúmero complejo z es positivo, entonces la integral

converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero.
Si n es un entero positivo, entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.
La función Gamma aparece envarias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.
Figura N°1.La función Gamma

Fuente: Wikipedia
Figura N°2. Gráfico 3-D de la función Gamma

Definición tradicional
Si la parte real del número complejo z es positiva (Re[z] > 0), entonces la integral:

converge absolutamente. Usando la integración porpartes, se obtiene la siguiente propiedad:

Propiedades
General
De la representación integral se obtiene:

Otras ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexión de Euler:

y la fórmula de duplicación:

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación:

Una propiedad básica y muy útil de la función Gamma, que puede obtenerse apartir de la definición mediante productos infinitos de Euler es:

Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo es

La cual puede obtenerse haciendo z = 1 / 2 en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación, usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con x = y = 1 / 2 o haciendo la sustitución en la definición integral de lafunción Gamma, con lo que se obtiene una integral Gaussiana. En general, para valores impares de n se tiene:
(n: impar)
donde n!! denota al doble factorial.
Las derivadas de la función Gamma vienen dadas por la función poligamma. Por ejemplo:

A partir de la representación integral de la función Gamma, se obtiene que su derivada n-ésima es:

La función Gamma tiene un polo; polo de orden 1 enz = - n para todo número natural y el cero. El residuo en cada polo es:

Valores de la función Gamma
Artículo principal: Valores de la función Gamma:

Función beta

Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de x ey.
En matemáticas, la función beta1 es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma. Fue estudiada originalmentepor Euler yLegendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.
Definición
Dada una función f, muchas veces es útil expresar f (x + y) en términos de f (x) y f (y). Por ejemplo, para la exponencial se tiene

Este análisis, aplicado a la función gamma, conduce a la definición de la función beta. Para  e , dos números complejos, con sus partes reales positivas, consideremos el producto :

Paraescribir esta integral doble en coordenadas polares, hagamos primero el cambio de variables  y :

Pasando a coordenadas polares ,  esta integral doble arroja

Haciendo  obtenemos

Definiendo la función beta

se obtiene

Propiedades
1. La primera propiedad que satisface la función beta, ya se ha mostrado

2. La función beta es simétrica

3. Haciendo cambios de variables...