Fisica De Ciencias

INTEGRACION POR SERIE DE TAYLOR
En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente JamesGregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permiteacotar el error obtenido mediante dicha estimación.
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyoscoeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervaloabierto ( , ), entonces se cumple que:

O en forma compacta:

Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dosexpresiones para que se mencionan a continuación:

Donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y

Si es expresado de la primera forma, se lodenomina Término complementario de LaGrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de LaGrange, mientras que la segunda expresión de Rmuestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.


EJEMPLOS:
Calcúlese el radio de convergencia de la siguiente serie:

∑_(n=0)^∞▒〖(-1)〗^n x^2n/((2n)!)Solución:

Esta es la Serie de Taylor del coseno, que sabemos que converge ∀x ∈ R por tanto, su radio de convergencia es ∞.


Calcúlese el radio de convergencia de la siguiente serie:∑_(n=1)^∞▒〖((x-1))/n^n 〗^n

Solución:

Calculamos el radio con la formula de la raíz

lim┬(n→∞)⁡√(n&|a_n | )= lim┬(n→∞)⁡√(n&1/n^n )= lim┬(n→∞)⁡〖1/n〗=0
Luego el radio de convergencia es ∞....