Fisica - Evaluación a distancia 12-13

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SOLUCIONES A LAS PRUEBAS DE EVALUACIÓN A DISTANCIA I CURSO 2012-2013
PROBLEMA 1.
Se tienen cuatro cargas puntuales q1 = −10nC situada en (2,3,0) m,
q2 = −5nC situada en (-2,4,0) m q3 = −3nC situada en (0,0,3) m y q4 = 2nC
situada en (0,4,0) m. (1)Calcular el campo eléctrico en el punto (0,4,0)
m. (2) Calcular la fuerza eléctrica total sobre q4 .
SOLUCIÓN
(1) Cálculo del campoeléctrico.
→
Aplicando superposición tenemos que el campo eléctrico total en el punto −4 =
r
(0, 4, 0) es la suma vectorial del campo creado por la carga q1 , el creado por q2 y el
creado por q3 :
−
→ −
→ −
→ −
→
E4 = E14 + E24 + E34
Para calcular cada una de estos campos aplicamos la ecuación del campo expresada en forma vectorial:
→ →
qi (−4 − −i ) N
r
r
−
→
Ei = K −
→3
| → − −i | Cr4
r
siendo i = 1, 2, 3.
Necesitamos calcular los vectores distancia y sus módulos:
→ →
(−4 − − )
r
r1
− −− |
→ →
| r4
r1
− −− )
→ →
( r4
r2
− −− |
→ →
| r4
r2
− −− )
→ →
( r4
r3
− −− |
→ →
| r4
r3

=
=
=
=
=
=

(0, 4, 0) − (2, 3, 0) = (−2, 1, 0) m
√
5m
(0, 4, 0) − (−2, 4, 0) = (2, 0, 0) m
2m
(0, 4, 0) − (0, 0, 3) = (0, 4, −3) m
5m

sustituyendo en laexpresión del campo resulta:
→ →
q1 (−4 − − )
r
r1
N
−→
−
′
′
E1,4 = K −
3 = (16 0997, −8 0498, 0)
→
C
| → − −1 |
r4
r
→ →
q2 (−4 − − )
r
r2
N
−→
−
′
E2,4 = K −
→ − − |3 = (−11 2500, 0, 0) C
→
| r4
r2
− −− )
→ →
q3 ( r4
r3
N
−→
−
′
′
E3,4 = K −
3 = (0, −0 864, 0 648)
→
C
|→ − − |
r
r
4

3

Finalmente, sumando estos campos obtenemos el campoeléctrico neto en el
punto 4:
N
−
→
E4 = (4′ 8497, −8′ 9138, 0′ 648)
C

ii
(2) Cálculo de la fuerza eléctrica sobre q4
Una vez conocido el campo eléctrico es fácil calcular la fuerza, basta con utilizar
la expresión que los relaciona:
−
→
−
→
F4 = q4 E 4 = (9′ 70, −17′ 83, 1′ 3).10−9 N
PROBLEMA 2
Dos cargas q puntuales iguales y positivas están a una distancia 2a.
Una carga positivaunidad se coloca en el plano perpendicular a la línea
que une las cargas (ver figura adjunta). ¿A qué distancia x experimentará
una fuerza máxima?

Figura 0.1:

SOLUCIÓN
Aplicando superposición tenemos que la fuerza eléctrica total en el punto indicado es la suma vectorial de la fuerza creada por ambas cargas q:
−
→ −
→ −
→
F = F1 + F2
Para calcular cada una de estas fuerzas aplicamos laecuación de Coulomb expresada en forma vectorial:
→ →
qi (− − −i )
r
r
−
→
Fi = K −
→ − − |3 N
→
|r
r
i

siendo i = 1, 2.

Necesitamos calcular los vectores distancia y sus módulos:
− = (0, h);
→
r
− = (−a, 0); (− − − ) = (a, h) m; |− − − | = x m
→
→ →
→ →
r1
r
r1
r
r1
− = (a, 0); (− − − ) = (−a, h) m; |− − − | = x m
→
→ →
→ →
r2
r
r2
r
r2

iii
sustituyendoen la expresión de la fuerza resulta:
→ →
q.1.(− − −1 )
r
r
q.(a, h)
−
→
F1 = K −
→ − − |3 = K x 3 N
→
|r
r1
− −− )
→ →
q.1.( r
r2
q.(−a, h)
−
→
F2 = K −
=K
N
3
→
x3
|→ − − |
r
r
2

Finalmente, sumando estas fuerzas obtenemos la fuerza neta en el punto:
q.(a, h)
q.(−a, h)
h
−
→ −
→ −
→
F = F1 + F2 = K
+K
= K.q 3
x3
x3
x
Por otro lado, por el teorema depitágoras sabemos que h =
podemos poner:
√
x2 − a2
−
→
N
F = 2.K.q
x3

√
x2 − a2 luego

La distancia a la que se obtiene la máxima fuerza se calcula derivando la fuerza
respecto a la distancia:
1

1

1
(x2 − a2 )− 2 .(2x).x3 − 3x2 (x2 − a2 ) 2
dF
= 2.K.q. 2
=0
dx
x6

Operando
x4 − (x2 − a2 ).3x2 = 0

x2 = 3(x2 − a2 ) = 3x2 − 3a2
2x2 = 3a2

x=a

3
m
2

Figura0.2:

iv

PROBLEMA 3
Calcular el flujo de campo eléctrico que atraviesa un hemisferio de
−
→
radio R, siendo el campo E uniforme y paralelo al eje del hemisferio.

Figura 0.3:

SOLUCIÓN
Vamos a definir una superficie gaussiana que sea el propio hemisferio pero cerrado por su tapa inferior (recuerda que las supeficies gaussianas deben ser siempre
cerradas). Dentro de ella no hay...