Fisica mecanica cinematica

44

Londoño - Introducción a la mecánica

2.2

MOVIMIENTO PLANO

Consideremos un punto móvil cuya trayectoria con respecto a un marco de referencia bien determinado es una curva plana, es decir, una curva enteramente contenida en un plano, como un círculo o una parábola, a diferencia de una curva espacial alabeada, como una hélice. Como ya vimos, los conceptos fundamentales de lacinemática son los de marco de referencia, r r r r r posición r , velocidad v y aceleración a . En el movimiento rectilíneo los vectores v y a tenían la misma dirección de la recta. Ahora, en el movimiento curvilíneo, sus direcciones son distintas y su significación e interpretación geométrica se enriquecen. Posición
Fijemos un origen O en el marco de referencia. Enrun instante t, el punto móvil seencuentra en P y su posición está dada por el vector posición r .

P

r
o

La posición r es una función vectorial del tiempo, r (t ) : a cada instante t le corresponde r unívocamente un vector r .
V

r

r

t r
o

t` r` r`` t``

El extremo del vector r describe la trayectoria a medida que t avanza. En t ' = t + ∆ t el punto móvil está en P' y su posición es

r

r r r ' = r (t + ∆ t) .

Cinemática  

45

r Se llama desplazamiento ∆ r durante el intervalo de tiempo ∆ t , al cambio en el vector posición r r r ∆r = r ' − r .

P

r
o

∆r
P`

vmedia dirección de ∆r

r`

El desplazamiento tiene la dirección de la cuerda entre los puntos P y P' , y se mide por ella y no por el arco de curva. Se llama velocidad media (o promedio) durante el intervalo de tiempo∆ t , al vector

r r ∆r . v media = ∆t La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento ∆ r , como se muestra en la figura anterior.

r

Velocidad
La velocidad del punto móvil en el instante t se define como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero y es, como ya vimos, la derivada respecto al r tiempo de la funciónvectorial r ,

r r r r r r r (t + ∆t ) − r (t ) dr ∆r & = = r. v = lim = lim ∆t → 0 ∆t ∆t → 0 ∆t dt
La dirección del vector velocidad tiene una interpretación geométrica fundamental. Como la r velocidad media tiene la dirección del desplazamiento ∆ r y éste está en dirección de la r cuerda, la dirección de v es el límite de las direcciones de las cuerdas trazadas desde el punto P a un punto P' , amedida que el punto P' se aproxima a P. ¡ Pero ésta es la definición de lo que es la tangente a una curva en un punto !

46

Londoño - Introducción a la mecánica

P

v
Tangente a la curva

∆r
direcciones de vmedia

P`

r El vector velocidad v en un punto de la trayectoria es un vector tangente a dicha trayectoria y apunta en la dirección en que en ese instante se está recorriendo lacurva.

P

v

r dr r v = dt dirección tangente

r
y en sentido del movimiento

o

La velocidad es siempre un vector, con magnitud y dirección. Su magnitud, según vimos r antes, se escribe v = v y se llama a veces rapidez. La velocidad es una función vectorial r v ( t ) que de un instante a otro cambia tanto en magnitud como en dirección. En t ' = t + ∆ t , la velocidad es

r r v' =v ( t + ∆ t )
r y el cambio en el vector velocidad, ∆ v , durante el intervalo ∆ t es

r r r ∆ v = v' − v .

Cinemática  

47

P

v v'
P'

v ∆v amedia

dirección de ∆v

v'

r r r Para hacer la diferencia v' − v = ∆ v hemos trasladado paralelamente los vectores a un origen común.
Como el vector velocidad es tangente a la trayectoria y su dirección va cambiando plegándose r ala curva, el cambio ∆ v apunta siempre hacia adentro de la concavidad de la curva. La aceleración media (o promedio) durante el intervalo ∆ t es
r r ∆v a media = , ∆t

r y es un vector con la misma dirección de ∆ v , es decir hacia dentro de la curva.
Aceleración
La aceleración del punto móvil en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo ∆ t tiende...