Fisica Moderna

Números complejos

1. Use la expresión para derivar las siguientes relaciones:

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.k.
l.
m.
n.
o.
p. donde es un entero. (Sugerencia: rescriba la relación dada como una suma sobre el vector unitario complejo .

2. Dados ymuestre que

Desarrollo

a._
cos(θ1 +θ2)= cosθ1cosθ2-θ2-senθ1 senθ2
=1/2(ei(θ1+θ2) + e-i(θ1+θ2))
=1/2(e^iθ1 e^iθ2 + e^-iθ1 e^-iθ2)
=1/2[( cosθ1+isenoθ1)( cosθ2+isenoθ2)+ ( cosθ1-isenoθ1)(cosθ2-isenoθ2)
=1/2[( cosθ1cosθ2+i cosθ1senθ2+ cosθ1senθ2+ icosθ2cosθ1- senθ1 senθ2+ cosθ1cosθ2-icosθ1senθ2- icosθ2senθ1- senθ1senθ2]
=1/2[2cosθ1cosθ2-2 senθ1senθ2]
= cosθ1 cosθ2-senθ1 senθ2

b._sen(θ1 +θ2)= cosθ1senθ2-senθ1 cosθ2
=1/2i(ei(θ1+θ2) - e-i(θ1+θ2) )
=1/2i(e^iθ1 e^iθ2 - e^-iθ1 e^-iθ2)
=1/2i[( cosθ1+isenoθ1)( cosθ2+isenoθ2)- ( cosθ1-isenoθ1)( cosθ2-isenoθ2)
=1/2i[(cosθ1cosθ2+icosθ1senθ2+ icosθ1senθ2- isenθ2senθ1- cosθ1 cosθ2+
cosθ1cosθ2-icosθ1senθ2- icosθ2senθ1- senθ1senθ2]
=1/2i[2icosθ1cosθ2+2i senθ1senθ2]
= cosθ1senθ2-senθ1 cosθ2

c._
2senθ1cosθ2= sen(θ1 +θ2)+ sen(θ1-θ2)
=2[(1/2i(e^iθ1- e^-iθ1)( e^iθ2 +e^-iθ2)]
=1/2i[((e^iθ1- e^-iθ1)( e^iθ2 +e^-iθ2)]
=1/2i[e^iθ1 e^iθ2+ e^iθ1 e^-iθ2- e^-iθ1 e^iθ2- e^-iθ1 e^-iθ2]
=1/2i[e^i(θ1+θ2)+e^i(θ1-θ2)- e^-i(θ1-θ2)-e^-i(θ1+θ2) ]
=1/2i[(ei(θ1+θ2)- e-i(θ1-θ2))+( ei(θ1-θ2)- e-i(θ1-θ2)]
= sen(θ1 +θ2)+ sen(θ1 -θ2)
d._
2cosθ1cosθ2= cos(θ1 +θ2)+ cos(θ1 -θ2)
=2[(1/2(e^iθ1+e^-iθ1)( 1/2(e^iθ2 +e^-iθ2))]
=1/2[((e^iθ1+e^-iθ1)(e^iθ2 +e^-iθ2)]
=1/2[e^iθ1 e^iθ2+ e^iθ1 e^-iθ2+e^-iθ1 e^iθ2- e^-iθ1 e^-iθ2]
=1/2i[e^i(θ1+θ2)+e^i(θ1-θ2)+e^-i(θ1-θ2)- e^-i(θ1+θ2) ]
=1/2i[(e^i(θ1+θ2)+ e^-i(θ1+θ2)+( e^-i(θ1-θ2)- e^-i(θ1+θ2)]
= cos(θ1+θ2)+ cos(θ1 -θ2)

e._
2senθ1senθ2= cos(θ1-θ2)+ cos(θ1+θ2)
=2[(1/2i(e^iθ1- e^-iθ1)( 1/2i(e^iθ2 +e^-iθ2))]
=2[1/4i((e^iθ1-e^-iθ1)( e^iθ2 -e^-iθ2)]
=1/2[((e^iθ1-e^-iθ1)( e^iθ2 -e^-iθ2)]...