Fisica musical

GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD ´ MATEMATICA EMPRESARIAL I. 1o CURSO. 1o SEMESTRE. 2011/2012 ´ RELACION DE EJERCICIOS DEL TEMA 5

68. Calcula los siguientes l´ ımites: (a) (c) (e) (g) (i) (k) 5n + 7 n→+∞ 8 − 2n l´ ım 2n2 − 3n + 7 n→+∞ 3n3 − 3n + 7 l´ ım l´ ım (2n + 1)(n2 − 3) n→+∞ (3n2 − 1)(n − 4)
n→+∞

(b) (d) (f) (h) (j) (l)

2 − 3n2 + 6n5 n→+∞ 3n5 + 6n − 2 l´ ım −4n4 + 5n2 − 1 n→+∞ 2n2− n + 1 l´ ım
n→+∞

l´ ım

2 5

n

l´ ım

−

4 3

n

3n+1 n→+∞ 4n l´ ım 5 n 1 − 6n n→+∞ 4 2 + 3n √ 5 3n5 + 2n2 − 7 √ l´ ım 3 n→+∞ 2n3 − 3 l´ ım

n→+∞

l´ ım

−3n2 + 5 3n + 12n3 + 1 − 6n2 2 + n − 4n2 − 2 5
n

n→+∞

l´ ım

−

n2 + 1 3n2 − 2

69. Estudia la convergencia de las siguientes series: (a) 3n + 1 2n − 3 n=1
+∞

(b)

(−1)n n2 + 1 n=1

+∞

(c)(−1)n+1 n2 3n2 + 5 n=1

+∞

+∞

(d)

(−1)n

n=2

2 7

n+1

70. Calcula la suma de los t´rminos indicados para cada una de las series siguientes: e
42 12

(a)
15

(3 − 2n)
n=1

(b)
n=2 10

5 n+1 2

27

(c)
n=5 12

3n −

1 4

(d)

3 2n n=7
+∞

(e)

5 · 2n+1 3n n=1
+∞

(f)

(−1)n · 4n 5n n=3
+∞ +∞

a 71. Estudia el car´cter de las siguientes series ycalcula su suma cuando sea posible: (a)
n=1 +∞

3n 1 + 5 4 5 2n+1

(b)

4 · 3n+1 5n n=1 2 3 9 n=1
+∞ n

(c)

7n 4n+2 n=2 2 3 − 9 n=1
+∞ n

(d)
n=1 +∞

2−

n 3

(e)
n=2

(f)

(g)

(h)

(−3)n 4n+1 n=1

72. Una persona est´ aprendiendo el vocabulario de un idioma mediante un m´todo que consiste en a e memorizar diez palabras el primer d´ doce el segundo, catorce eltercero y as´ sucesivamente; es ıa, ı decir, cada d´ aprende dos palabras m´s que las que aprendi´ el d´ anterior. Calcula cu´ntas palabras ıa a o ıa a nuevas tiene que memorizar en el d´ trig´simo desde que empez´ a aplicar el m´todo. Calcula tambi´n ıa e o e e cu´ntas palabras habr´ memorizado en total, al cabo de esos treinta d´ a a ıas.

30

73. Una revista mensual lanza su primer n´mero enenero de 2010 con una tirada de 30.000 ejemplares. u Dado su ´xito, cada mes publica 2.000 ejemplares m´s que el mes anterior. Calcula cu´ntos ejemplares e a a ha publicado en total la revista, desde su lanzamiento hasta el n´mero de julio de 2011, incluido este u ultimo. ´ 74. Una persona se entera de una noticia. En un minuto se la comunica por tel´fono a tres conocidos. e Al cabo de otrominuto, cada uno de ellos se la traslada a otras tres personas que, a su vez, hacen lo mismo en otro minuto y as´ sucesivamente. Suponiendo que siempre intervienen personas distintas de ı las anteriores, ¿cu´ntas personas conocer´n la noticia tras 15 minutos? a a 75. Estudia la convergencia puntual de las siguientes series de funciones y calcula su suma cuando sea posible:
+∞

(a)

(3 − nx)
n=1(b)

2 xn n=1

+∞

(c)

2n2 − n + 1 x 1 − n2 n=1
+∞

+∞

(d)

4n+1 xn n=1

+∞

76. Determina el campo de convergencia de las series de potencias siguientes:
+∞

(a)

(n + 2)xn (b)

n=1

4(x − 2)n 3n n=1

+∞

(c)

3n+1 (x + 1)n (d) 5n n=1

+∞

2n (x − 3)n n · 3n n=1

EJERCICIOS A RESOLVER CON MATHEMATICA 77. Comprueba los l´ ımites y las sumas de series quehas calculado en los ejercicios anteriores. 78. Calcula el radio de convergencia de las series de potencias del ultimo ejercicio. ´ EJERCICIOS RESUELTOS 79. Determinar el campo de convergencia de la serie de potencias Resoluci´n: o Para determinar el campo de convergencia de una serie de potencias, hay que obtener en primer lugar el radio de convergencia.
+∞

n (x + 1)n . 2n n=1

+∞Recordemos que el radio de convergencia de la serie de potencias
  +∞          
n=1

an (x − a)n viene dado por:

si si si

n→+∞

l´ ım

an+1 = 0; an an+1 = +∞; an an+1 = L = 0, +∞. an

ρ=

        1   

0

n→+∞

l´ ım

L

n→+∞

l´ ım

En el caso de la serie

n n an+1 (x + 1)n , an = n y a = −1. Calculamos l´ ım : n n→+∞ an 2 2 n=1
n+1 2n+1 n...