Fisica Y Musica
Páginas: 28 (6927 palabras)
Publicado: 6 de febrero de 2013
Dhttp://www.enchufa2.es/archives/tag/musmatavid Benson “Mathematics and music. A music
http://www.enchufa2.es/archives/tag/musmatal
1 Música y matemáticas. La afinación temperada
Publicado por Almudena a las 9:29 Miércoles 12 de agosto de 2009
A pesar de que el sistema de afinación pitagórico es el único que respecta las dos consonancias principales (8as y 5as), la incompatibilidadentre ambas daba lugar a bastantes inconvenientes, tal como vimos la semana pasada. Como alternativa se propusieron otros sistemas a lo largo de la historia, algunos basados en la consonancia de 3ª (como el sistema justo o el mesotónico), otros, en unidades interválicas más pequeñas que el semitono (sistema de Holder, por ejemplo). No tengo especial interés en estos sistemas, pues creo que noaportaron mucho al sistema actual, pero se puede hablar de ellos en otra entrada si alguien tiene interés. Finalmente, el sistema que se impuso fue el sistema temperado, o temperamento igual (en inglés Equal Temperament, ET), basado en 12 semitonos iguales y que sólo respeta la consonancia de 8ª. Todas los demás intervalos, como veremos en esta entrada, resultan ligeramente disonantes. A pesar de ello,es un sistema óptimo para la música tonal, especialmente a partir del Barroco y el Clasicismo: cada vez más llena de modulaciones (cambios de tonalidad o de “escala”), alteraciones accidentales, cromatismos (empleo consecutivo de intervalos de semitono), etcétera.
2 El semitono temperado:
Es fácil deducir la razón de ser matemática del sistema temperado. Para ello intentaremos averiguarcuánto mide el intervalo de semitono en este sistema. Un intervalo es una proporción de frecuencias, por lo que la frecuencia de cada nota de la escala cromática, se obtendrá de multiplicar la nota anterior por la proporción (razón) correspondiente a un semitono, que por el momento llamaremos “x”. Si queremos saber, por ejemplo, cuál es la frecuencia de do#, multiplicaremos la frecuencia de do por“x”. Para obtener re, volveremos a multiplicar el resultado obtenido por x, (o la frecuencia de do por x2), etcétera. Por tanto, si queremos completar una 8ª con 12 intervalos iguales, necesitamos un semitono tal que al multiplicarlo 12 veces consecutivas por la frecuencia base, (pongamos 1), dé como resultado una frecuencia doble, (2, el mismo sonido una 8ª más agudo). Esto es: [pic]. Por tanto, [pic].Esta es la relación de frecuencias correspondiente a un semitono temperado. Este semitono es intermedio de los pitagóricos: diatónico, [pic], y cromático, [pic].
3 La escala temperada:
Para hallar la proporción correspondiente a cualquier otro intervalo de la escala temperada, tan sólo tendremos que elevar [pic] al número de semitonos (ST) que contiene dicho intervalo. En la tabla podéisver una comparativa entre los intervalos pitagóricos, los temperados y los consonantes. Algunas consonancias están entre paréntesis porque son resultado de la inversión de otro intervalo consonante: la 4ªJ es una inversión de la 5ªJ (de do a sol hay una 5ªJ, de sol al do más agudo hay una 4ª), la 3ªm es el intervalo que hay entre mi y sol, ambos consonancias de do, por lo que también sueleconsiderarse consonante, por último, la 6ªM es la inversión de la 3ªm.
[pic]
También podéis apreciar las diferencias de afinación en este gráfico extraído de la wikipedia, aunque con algunos errores corregidos del original. Los puntos negros son temperados y los azules pitagóricos. El cent es una medida de afinación equivalente a la centésima parte (logarítmica, claro está) de un semitonotemperado: [pic]
[pic]
Como podéis ver, ambos sistemas son muy parecidos. Las mayores diferencias se encuentran entre las notas alteradas, especialmente al llegar al sol# (extremo del círculo de 5as). Sin embargo, si escuchamos la escala diatónica de los sonidos naturales, afinada según el sistema pitagórico o el temperado, resultan casi indistinguibles.
4 La 5ª Justa:
la 5ªJ temperada...
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1 Música y matemáticas. La afinación temperada
Publicado por Almudena a las 9:29 Miércoles 12 de agosto de 2009
A pesar de que el sistema de afinación pitagórico es el único que respecta las dos consonancias principales (8as y 5as), la incompatibilidadentre ambas daba lugar a bastantes inconvenientes, tal como vimos la semana pasada. Como alternativa se propusieron otros sistemas a lo largo de la historia, algunos basados en la consonancia de 3ª (como el sistema justo o el mesotónico), otros, en unidades interválicas más pequeñas que el semitono (sistema de Holder, por ejemplo). No tengo especial interés en estos sistemas, pues creo que noaportaron mucho al sistema actual, pero se puede hablar de ellos en otra entrada si alguien tiene interés. Finalmente, el sistema que se impuso fue el sistema temperado, o temperamento igual (en inglés Equal Temperament, ET), basado en 12 semitonos iguales y que sólo respeta la consonancia de 8ª. Todas los demás intervalos, como veremos en esta entrada, resultan ligeramente disonantes. A pesar de ello,es un sistema óptimo para la música tonal, especialmente a partir del Barroco y el Clasicismo: cada vez más llena de modulaciones (cambios de tonalidad o de “escala”), alteraciones accidentales, cromatismos (empleo consecutivo de intervalos de semitono), etcétera.
2 El semitono temperado:
Es fácil deducir la razón de ser matemática del sistema temperado. Para ello intentaremos averiguarcuánto mide el intervalo de semitono en este sistema. Un intervalo es una proporción de frecuencias, por lo que la frecuencia de cada nota de la escala cromática, se obtendrá de multiplicar la nota anterior por la proporción (razón) correspondiente a un semitono, que por el momento llamaremos “x”. Si queremos saber, por ejemplo, cuál es la frecuencia de do#, multiplicaremos la frecuencia de do por“x”. Para obtener re, volveremos a multiplicar el resultado obtenido por x, (o la frecuencia de do por x2), etcétera. Por tanto, si queremos completar una 8ª con 12 intervalos iguales, necesitamos un semitono tal que al multiplicarlo 12 veces consecutivas por la frecuencia base, (pongamos 1), dé como resultado una frecuencia doble, (2, el mismo sonido una 8ª más agudo). Esto es: [pic]. Por tanto, [pic].Esta es la relación de frecuencias correspondiente a un semitono temperado. Este semitono es intermedio de los pitagóricos: diatónico, [pic], y cromático, [pic].
3 La escala temperada:
Para hallar la proporción correspondiente a cualquier otro intervalo de la escala temperada, tan sólo tendremos que elevar [pic] al número de semitonos (ST) que contiene dicho intervalo. En la tabla podéisver una comparativa entre los intervalos pitagóricos, los temperados y los consonantes. Algunas consonancias están entre paréntesis porque son resultado de la inversión de otro intervalo consonante: la 4ªJ es una inversión de la 5ªJ (de do a sol hay una 5ªJ, de sol al do más agudo hay una 4ª), la 3ªm es el intervalo que hay entre mi y sol, ambos consonancias de do, por lo que también sueleconsiderarse consonante, por último, la 6ªM es la inversión de la 3ªm.
[pic]
También podéis apreciar las diferencias de afinación en este gráfico extraído de la wikipedia, aunque con algunos errores corregidos del original. Los puntos negros son temperados y los azules pitagóricos. El cent es una medida de afinación equivalente a la centésima parte (logarítmica, claro está) de un semitonotemperado: [pic]
[pic]
Como podéis ver, ambos sistemas son muy parecidos. Las mayores diferencias se encuentran entre las notas alteradas, especialmente al llegar al sol# (extremo del círculo de 5as). Sin embargo, si escuchamos la escala diatónica de los sonidos naturales, afinada según el sistema pitagórico o el temperado, resultan casi indistinguibles.
4 La 5ª Justa:
la 5ªJ temperada...
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