Fisica

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INTERPOLACIÓN CON TRAZADORES O SPLINES
Ing. Yamil Armando Cerquera Rojas Especialista en Sistemas U. Nacional de Colombia Docente Universidad Surcolombiana

SPLINES CÚBICOS DEFINICIÓN FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1 FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2 FUNCIONES SPLINES CUBICOS Ejemplo Spline Cúbico Un caso particular El caso general Solución ConMatLab Ejercicios

TRAZADORES CÙBICOS: SPLINES CÙBICOS
Este tipo de interpolación que ha demostrado poseer una gran finura y que inclusive es usado para el diseño asistido por computadora, por ejemplo, de tipos de letra. Esta interpolación se llama interpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar todos los datos, sepueden usar segmentos de polinomios entre pares coordenados de datos y unir cada uno de ellos adecuadamente para ajustar los datos. Vale la pena resaltar que entre todas las formas de ajustar datos, los splines cúbicos han resultado ser los más adecuados para cualquier tipo de aplicación. Así pues, se puede decir de manera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada unodefinido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. Para un conjunto numeroso de puntos no es muy útil calcular el polinomio interpolante que pasa por estos puntos, pues éste tiende a tener grandes oscilaciones. Más aconsejable es hacer una interpolación secuencial de grado bajo sobre subconjuntos más pequeños del total de puntos, definiendo así una función atrozos. La interpolación a trozos más útil y de uso generalizado en diversos campos tales como el diseño, los gráficos por computadora, la economía, etc., es la que se realiza mediante polinomios de grado tres llamados trazadores o splines cúbicos que se definen en cada uno de los sub intervalos ( x k , x k +1 ) definidos por las abscisas de los puntos ( xi , y i ) a interpolar. La idea es construirestos polinomios cúbicos de tal forma que cualesquiera dos de ellos definidos en intervalos contiguos ( xk −1 , xk ) y ( x k , x k +1 ) , ambos coincidan en xk no solo

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como función sino también en su primera y segunda derivada, con el fin de que haya suavidad en los puntos(xk,yk) de coincidencia de ambas gráficas. En cada sub intervalo (xi-1,xi). • s(x) tiene derivada continua hasta de orden k-1 en (xo,xn). FUNCIONES SPLINES DE GRADO 0 Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. Una forma explícita de presentar un spline de grado 0 es la siguiente:

 S 0 ( x) = c 0 ....x ∈ (t 0 , t1 )   S ( x) = c ....x ∈ (t , t )    1 1 2 S ( x) =  1 ....   S n −1 ( x) = c n −1 ....x ∈ (t n −1 , t n )  
Los intervalos (ti-1,ti) ó (xi-1,xi) no se intersectan entre sí, por lo que no hay ambigüedad en la definición de la función en los nodos.

Figura 1: Spline de grado 0 con seis puntos. FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1 Los splines de grado 1 son funciones polinomiales de grado 1 (Rectas de la forma f(x)=ax+b) que se encargan de unir cada parde coordenadas mediante una recta. Dados los n+1 puntos

x x0 x1 x2 ..... xn y y0 y1 y2 .... yn
Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos (Par coordenados) mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes figuras:

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Fig 2

Fig 3: Spline de grado 1 con 6 puntos

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado 1. Así, se tiene que para este caso:

 S 0 ( x) = a0 x + b0 ....x ∈ (t 0 , t1 )   S ( x) = a x + b ....x ∈ (t , t )    1 1 1 1 2 S ( x) =   ....   S n−1 ( x) = an −1 x + bn −1 ....x ∈ (t n −1 , t n )  
ó

 S 0 ( x) = a0 x + b0 ....x ∈ ( x0 , x1...