Fisica

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Diagonalización de matrices
Práctica de Álgebra Lineal, E.U.A.T., Grupos 1ºA y 1ºB, 2005
Algo de teoría
¿Qué es diagonalizar una matriz?
Para estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo más sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si sepuede) tales que A PDP
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La matriz P se llama matriz de paso. Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era A directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. Dado que las matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada por A; entonces, esta forma deescribirlo dice: hay una base en la que la aplicación lineal A tiene una forma muy simple (diagonal). Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas, cuádricas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma de expresarlas. La relación anterior entre las matrices A y D esimportante y aparece en muchos contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas A y B verifican que A P B P 1 para cierta matriz cuadrada P (invertible, claro) decimos que A y B son semejantes.
Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz se escriba como dijimosantes. Dicho de otra forma: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal. En estas prácticas sólo consideraremos como diagonalizables las matrices que sean semejantes a una matriz diagonal real. Entonces, más exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal real.

¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?
Si conseguimos escribir unamatriz A como A P D P 1 , entonces podemos poner también A P P D. Si D es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última igualdad lo que tenemos es que A xi Λi xi (donde xi es la columna i de A y Λi es el número en el lugar i de la diagonal de D). Esto nos dice que para diagonalizar una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así. Estos vectores también tienennombre:

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Si un número Λ y un vector no nulo x verifican la relación A x Λ x diremos que Λ es un valor propio o autovalor de la matriz A y que x es un vector propio o autovector de A asociado al valor propio Λ.
Es fácil ver que diagonalizar una matriz A de tamaño n×n es lo mismo que encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores propiosreales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir así la matriz P (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que buscamos). Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a valores propios reales.

¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?
Es fundamental, pues,hallar los valores propios de A y los vectores propios asociados. Como un vector propio Λ hace que el sistema Ax = Λx tenga solución x distinta de cero, la matriz de coeficientes A − ΛI (donde I denota la matriz identidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det(A−Λ I) es un polinomio en Λ de grado n y se denomina polinomio característico de A. Por lo tanto, los valorespropios de A serán los ceros del polinomio característico de A. Observa que una matriz puede perfectamente tener valores propios imaginarios. Por otro lado, el conjunto de vectores propios de A asociados a un mismo valor propio Λ forman un subespacio vectorial de Rn que se llama subespacio propio asociado al valor propio Λ, y es el nú clea de la matriz A − ΛI. Para concluir si una matriz A es o no...