Fisica

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle latrayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.  Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el sueloSe dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.Las componentes de lavelocidad del proyectil en función del tiempo son:vx=v0·cosθ
vy=v0·senθ-g·tLa posición del proyectil en función del tiempo esx= v0·cosθ·t
y= h+v0·senθ·t-g·t2/2Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.El proyectil llega alpunto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ. La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo esLa velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal(véase la primera figura) esEl módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.Alcance máximoDerivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.Elevamos al cuadrado y simplificamosEl ángulo θm para el cual el alcance R es máximo valeSustituyendo cosθ y senθ  enfunción del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones Otra forma de expresar el alcance máximo Rm esTeniendo en cuenta la relación trigonométricallegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximoRm=h·tan(2θm)El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm El alcance máximo sin cálculo de derivadasUna forma alternativa de calcular el ángulo θm, sintener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.Esto implicaque el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm  que hace que el alcance sea máximoEl mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.Velocidad final y velocidad inicialLa velocidad final y el ángulo que forma con el eje X sonLa relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo esEl vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares, Ejemplo: * La velocidad de disparo v0=60 m/s, * La altura inicial del proyectil h=200 m * El ángulo de tiro θ=30º. El alcance R esEl tiempo T de vuelo del proyectil es * El alcance máximo (véase la última figura) se obtiene para el ángulo El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son,respectivamente * Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=450 m. Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ θ1=10.8º, θ2=55.3º,  Como vemos θ1<θm<θ2 | Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la...