fisica

Estabilidad del equilibrio
El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimos y máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.Equilibrio meta-estable (1), inestable (2) y estable (3).
Un resultado elemental del análisis matemático dice una condición necesaria para la existencia de un extremo local de una funcióndiferenciable es que todas las derivadas primeras se anulen en algún punto. Para determinar problemas unidimensionales, comprobar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificarlas derivadas segundas de la energía potencial:
• Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial < 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si elsistema sufre un desplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que éste sea, entonces se alejará más y más de él (de ahí el nombre inestabilidad para esa situación).
• Un punto es deequilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entonces se encuentra una región donde la energía no varía. Así, si el sistema es desplazado de la posición de equilibrio una cantidadsuficientemente pequeña, posiblemente no volverá a acercarse al equilibrio pero tampoco divergirá mucho de la posición anterior de equilibrio.
• Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 ypor tanto la energía potencial tiene un mínimo local. La respuesta del sistema frente a pequeñas perturbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeño de del punto de equilibrio es volver u oscilaralrededor del punto de equilibrio. Si existe más de un punto de equilibrio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energía potencia es mayor que el mínimo absolutorepresenta un estado meta estable.
Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales) la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere...