Fisica

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
cuando se mueve a lo largo de un eje (en este caso el eje x), estando
su posición x dada en función del tiempo t por alguna de las
siguientes ecuaciones

x  Asen(t   )

x  A cos(t   )

Un modelo de M.A.S. sería un bloque de masa m, unido al
extremo de un resorte, con el bloque libre demoverse en una
superficie horizontal sin fricción.

En las ecuaciones anteriores

 A corresponde a la amplitud del movimiento, es decir el valor máximo
de la posición de la partícula.
  es la frecuencia angular que es una medida de lo rápidamente que
ocurren las oscilaciones. Cuanto más oscilaciones haya por unidad de
tiempo, mayor será el valor de .
  es el ángulo de fase o faseinicial y señala en que parte del ciclo u
oscilación estaba el movimiento en t = 0
 t +  se denomina fase del movimiento y representa la posición
angular para un tiempo dado

Observe que
 como los valores máximos y mínimos de la función seno (o coseno)
son 1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje x
comprendida entre A y -A.
 la función seno (o coseno) es periódica y serepite cada 2, por tanto,
el movimiento se repite cuando el argumento de la función se
incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que
(t + T) +  = t +  + 2
t + T +  = t +  + 2
T = 2
T = 2/

Cinemática de un M.A.S.
La posición de una partícula que describe un M.A.S. en función
del tiempo viene dada por al ecuación

x  Asen(t   )
Derivando conrespecto al tiempo, se obtiene la velocidad de la
partícula

dx
v
 A cos(t   )
dt
Derivando una vez más con respecto al tiempo, se obtiene la
aceleración de la partícula

a

dv
  A 2 sen (t   )   2 x
dt

Las figuras siguientes ilustran las curvas de la
posición , la velocidad y aceleración en función del
tiempo

Estas curvas muestran que la fase de la velocidaddifiere de la del
desplazamiento en /2 radianes, o sea 90º. Es decir, cuando x es máximo
o mínimo, la velocidad es cero. Del mismo modo, cuando x es cero, la
rapidez es máxima.
Es más, observe que la fase de la aceleración difiere de la correspondiente
al desplazamiento en  radianes, o sea 180º. Es decir, cuando x es
máximo, a es mínimo, y viceversa

Esta última expresión suele escribirseen forma de ecuación
diferencial

d 2x
2x  0
dt 2
La ecuación anterior es la ecuación diferencial de un MAS
donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento, un
desplazamiento angular, la carga de un condensador, una
temperatura etc.
Puede comprobarse que tanto x = A sen( t + ) como
x = A cos( t + ) son soluciones de la ecuación diferencial
anterior

Ejemplo
Unapartícula tiene un desplazamiento x dado por la expresión
x = 3 sen(5t + ), donde x está expresado en metros y t en
segundos.
a) ¿Cuáles son el período y la frecuencia del movimiento?
b) ¿Cuál es la mayor distancia que recorre la partícula desde su
posición de equilibrio?
c) ¿Dónde se encuentra la partícula en los instantes t = 0 y
t = 0.5 s?
d) Escriba la ecuación de la velocidad en funcióndel tiempo.
¿Cuál es la velocidad máxima que alcanza la partícula?
e) Escriba la ecuación de la aceleración en función del tiempo.
¿Cuál es aceleración máxima que alcanza la partícula?

Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el
tiempo t = 0

v0  A cos(  0   )  A cos 

x0  Asen(  0   )  Asen

se puede determinar la amplitud Ay la fase inicial 

sen
tan  

cos 

x 
2
0

2
v0

2

x0
A
v0
A



x0 A x0


A v0
v0

 A2sen 2  A2 cos 2   A2 (sen 2  cos 2  )  A2
x 
2
0

2
v0



2

A

Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la fuerza necesaria
para que una partícula de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es
proporcional al...