fisica

COORDENADAS POLARES

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Desarrollando ur en la base {i, j} tenemos:
r = r (cos j i + sen j j) = r cos j i + r sen j j
con lo que la relación entre las componentes de ambos sistemas es:
x = r cos j

y = r sen j

y de la Fig. II-36, la inversa:
r=

x 2 + y2

j = arctg

y
x

PROBLEMAS: 56 al 60.

PROBLEMAS

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A) ÁLGEBRA VECTORIAL
1. Si un vector forma con los ejes X e Y ángulos de 60° y tiene de
módulo 4 unidades. Calcular: 1) Sus componentes coordenadas.
2) Ángulo que forma con el eje Z.
2. Se tienen dos fuerzas coplanarias y concurrentes cuyos módulos
son: F1 = 5 kp y F2 = 7 kp, que forman respectivamente los siguientes
ángulos con el eje OX: 60° y – 30°. Calcular: 1) La fuerzaresultante.
2) Su módulo. 3) Ángulo que forma con el eje OX.
3. Se tienen tres fuerzas concurrentes cuyos módulos son:
F1 = 6 kp, F2 = 3 kp, F3 = 4 kp, que forman, respectivamente, los siguientes ángulos con el eje OX: 45°, 30° y – 60°. Las tres fuerzas están
en el mismo plano. Calcular el módulo de la resultante y el coseno del
ángulo que forma con el eje OX.
4. Teniendo en cuenta que la fuerzade interacción Newtoniana entre dos partículas de masa m y m′ que distan entre sí r, es: F =
= – G mm′r /r 3, [G = 6,67 × 10 – 11 N · m2/kg2], resolver el siguiente problema: supongamos que en el espacio intergaláctico (fuera de toda influencia de cuerpos celestes) definimos un sistema de ejes rectangulares.
Tres partículas de masa 4 kg las colocamos en (0, 0), (2, 2), (2, –2) medidas estascoordenadas en metros. Calcular la fuerza que ejercerán sobre una partícula de masa 1 kg colocada en (4, 0) m.
5. Si la expresión de la ley de Coulomb es: F = K0qq′r /r 3,
[K0 = 9 × 109 N · m2/C2]. Calcular la fuerza que actúa sobre una carga
de 1 µC colocada en el punto (6, 0) m debida a la siguiente distribución:
En el origen de coordenadas una carga q1 = 2 µC, en el punto (0, 3) m
una carga q2= 3 µC y en el punto (0, –3) m una carga q3 = – 3 µC
(suponemos las cargas en el vacío).
6. Descomponer la fuerza de módulo F = 20,0 N en las direcciones a y b indicadas en la figura.

Problema II-6.

Problema II-27.

7. Si tienen tres vectores no coplanarios OA = a, OB = b y
OC = c. Designamos por M el punto medio del segmento rectilíneo AB
y por G el baricentro del tríangulo ABC; sepide obtener razonada y sucesivamente: 1) Expresión de OM en función de a y b. 2) Expresión de
MC en función de OM y c, así como la de GC en función de MC.
3) Expresión de OG en función de a, b y c.
8. Dados los vectores: a = 3 i – 2 j, b = – 4 i + j, calcular: 1) El
vector suma y su módulo. 2) El vector diferencia y el ángulo que forma
con el eje OX. 3) El vector c = 2a – 3b y el vectorunitario que define
la dirección y sentido de c.
9. Dados los vectores: a de módulo 3 y cosenos directores proporcionales a 2, 1 y – 2, b que tiene de origen respecto de cierto sistema el

punto O (–1, – 2, 1) y de extremo el punto P (3, 0, 2) y el vector
c (2, 0, – 3). Calcular: 1) 2a – 3b + c. 2) |3a – 2b + 2c|.
10. Un vector tiene por origen respecto de cierto sistema de referencia el punto O(–1, 2, 0) y de extremo P (3, –1, 2). Calcular:
1) Componentes del vector OP. 2) Módulo y cosenos directores. 3) Un
vector unitario en la dirección de él pero de sentido contrario.
11. Dados los vectores a (2, 4, 6) y b (1, –2, 3). Calcular: 1) El
vector suma a + b, su módulo y cosenos directores. 2) El vector diferencia a – b y el vector unitario que define su dirección y sentido.
12. Dadoslos vectores: a (1, –1, 2) y b (–1, 3, 4). Calcular:
1) El producto escalar de ambos vectores. 2) El ángulo que forman.
3) La proyección de b sobre a.
13. Demostrar que el vector unitario a, cuyos cosenos directores
son: cos a = 1/3, cos b = 2/3 y cos g > 0, es perpendicular al vector
b (6, – 9, 6).
14. Demuéstrese que si la suma y diferencia de dos vectores tienen
el mismo módulo,...