Fisica

Principio de Incertidumbre de Heisenberg

UNIVERSIDAD DE MURCIA Miguel Albaladejo Serrano Licenciatura en Física mas4@alu.um.es

Resumen Se demuestra el principiode incertidumbre de Heisenberg para dos observables A y B cuyo conmutador es [A, B] = C.

Supongamos que tenemos dos observables, A y B, cuyo conmutador es: [A, B]= C (1)

Si tenemos un vector |Ψ normalizado, podemos hacer actuar un operador (que nunca podrá ser un observable) de la forma A + ıB, obteniendo |ϕ = (A + iλB) |ϕ .Su norma habrá de ser mayor o igual que cero, ϕ|ϕ : | ϕ|ϕ = Ψ| A2 + λ2 B 2 + iλ[A, B] |Ψ = λ2 B 2 + iCλ + A2 ≥ 0 | (2)

Por tanto el discriminante de la anteriorecuación en el caso de igualdad ha de ser menor o igual que cero, por lo que: A2 B2 ≥ |C|2 4 (3)

Si ahora definimos dos operadores a partir de los anteriores de estamanera: A B = A − Ψ| A |Ψ = B − Ψ| B |Ψ (4a) (4b)

Se cumplirá la siguiente relación de conmutación, pues los dos últimos términos de las definiciones son constantes:[A , B ] = C 1 (5)

Por tanto también se cumplirá que: A2 B2 ≥ |C|2 4 (6)

Pero si ahora calculamos, según su definición, A 2 y B 2 , obtendremos: A2 B
2

= =Ψ| A 2 |Ψ = A2 − A Ψ| B |Ψ = B
2 2

2 2

= (∆A)2 = (∆B)
2

(7a) (7b)

− B

Y, por tanto, se tiene que: ∆A · ∆B ≥ |C| 2 (8)

Este es el principio deincertidumbre o incerteza de Heisenberg. Es importante notar que, aunque en el desarrollo habitual se parte de la ecuación de Schrödinger y del formalismo de onda, y sellega a demostrar 8, el desarrollo puede ser invertido y, postulando 8, alcanzar la formulación de funciones de onda y demostrar la ecuación de Schrödinger.

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