Fisica

CAP´ ITULO VI. APLICACIONES DE LA DERIVADA

SECCIONES A. Crecimiento y decrecimiento. M´ximos y m´ a ınimos locales. B. Concavidad. Puntos de inflexi´n. o C. Representaci´n gr´fica de funciones. o a D. Problemas de m´ximos y m´ a ınimos. E. Teoremas del valor medio. Regla de L’H¨pital. o F. Ejercicios propuestos.

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´ A. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MAXIMOS Y M´ INIMOS LOCALES.

Losintervalos de crecimiento y decrecimiento de una funci´n y = f (x) se o obtienen a partir de la primera derivada de la funci´n por la siguiente reo gla: (a) f crece en un intervalo (a, b) si f (x) > 0 para todo x en (a, b). (b) f decrece en un intervalo (a, b) si f (x) < 0 para todo x en (a, b). Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada son los m´ximos o m´ a ınimos,seg´n la derivada cambie de positiva a negativa u o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen: (a) Un punto x0 del dominio de la funci´n corresponde a un m´ximo local o o a relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f crece y otro intervalo (x0 , x0 + δ) en donde f decrece. (b) Un punto x0 del dominio de la funci´n corresponde a un m´ o ınimo local o relativo si existe unintervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f decrece y otro intervalo (x0 , x0 + δ) en donde f crece. Los m´ximos y m´ a ınimos locales se encuentran entre los llamados puntos singulares o cr´ ıticos, es decir, puntos del dominio de la funci´n en donde la o derivada se anula o no existe.

PROBLEMA 6.1.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´n o √ f (x) = x( x + 1).
Soluci´n o

Calculamos laderivada de la funci´n: o √ √ x 2x + 2 x + x 3x + 2 x √ √ f (x) = x + 1 + √ = = . 2 x 2 x 2 x √ √ La derivada se anula cuando 3x + 2 x = 0 y no existe cuando 2 x = 0. Despejamos x en ambas ecuaciones: √ √ √ 4 o 3x + 2 x = 0 =⇒ 3x = −2 x =⇒ 9x2 = 4x =⇒ x = 0 ´ x = . 9 206

Como el valor x = 4/9 no verifica la primera ecuaci´n, el unico valor que o ´ anula f (x) es x = 0. Por otra parte, √ 2 x =0 ⇐⇒ x = 0. El unico punto cr´ ´ ıtico es x = 0. Como el dominio de la funci´n es el intervalo o [0, ∞) y f (x) ≥ 0 en todo el dominio, la funci´n es siempre creciente. Por o tanto, el punto (0, 0) es el m´ ınimo de la funci´n. o

PROBLEMA 6.2.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´n o
f (x) = x3 + 4 . x2

Soluci´n o

De nuevo calculamos la derivada: f (x) = 3x2 · x2 − (x3+ 4) · 2x x4 − 8x x3 − 8 = = . 4 4 x x x3

La derivada se anula cuando x3 − 8 = 0 y no existe cuando x3 = 0. Despejaremos x en ambas ecuaciones: x3 − 8 = 0 ⇐⇒ x3 = 8 ⇐⇒ x = 2. x3 = 0 ⇐⇒ x = 0. Como el dominio de la funci´n es R \ {0}, el unico punto cr´ o ´ ıtico es x = 2. Estudiamos el crecimiento en los intervalos (−∞, 0), (0, 2) y (2, ∞). Para ello, sustituimos la derivada de la funci´n encualquier punto interior a los o intervalos. El signo de la derivada indicar´ si la funci´n original crece o a o decrece. As´ ı: f (−1) = −9/ − 1 > 0 =⇒ la funci´n crece en (−∞, 0). o f (1) = −7/1 < 0 =⇒ la funci´n decrece en (0, 2). o f (3) = 19/27 > 0 =⇒ la funci´n crece en (2, ∞). o Un m´todo m´s c´modo por su claridad visual consiste en representar el e a o dominio de la funci´n sobre la rectareal. A continuaci´n, colocar en la o o misma recta los puntos cr´ ıticos. De esta manera quedan ya delimitados los intervalos que se van a estudiar. Despu´s de sustituir en la derivada de la e 207

funci´n alg´n punto intermedio de cada intervalo, colocar el signo + ´ − o u o seg´n si dicha derivada es positiva o negativa. As´ quedan completamente u ı determinados los intervalos y elcomportamiento de la funci´n en cada uno o de ellos. En este ejemplo hubiera quedado as´ ı: (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞) f (x) ++ –– ++

PROBLEMA 6.3.

Encontrar los m´ximos y m´ a ınimos locales de la funci´n o
f (x) = x5 − 5x + 6. Soluci´n o

Busquemos los puntos cr´ ıticos de la funci´n: o f (x) = 5x4 − 5; f (x) = 0 ⇐⇒ 5x4 = 5 ⇐⇒ x4 = 1 ⇐⇒ x = ±1. Como los puntos cr´ ıticos son x = 1 y x = −1,...