Fisica

z

y

x

5

Funciones de varias variables

z

y

x

Las áreas mostradas en el mapa climático mundial representan el rango de temperatura anual normal de las regiones en la Tierra. ¿Cuáles son las dos características geográficas que tienen mayor efecto en el rango de temperatura? ¿Por qué?

z

y

x

y

x

Muchas cantidades en la vida real son funciones de dos o másvariables. En la sección 5.1 se aprenderá a representar gráficamente una función de dos variables, como la que se muestra arriba. Las tres gráficas superiores muestran vistas de cortes de la superficie de varias trazas. Otra manera de visualizar esta superficie es proyectar las trazas sobre el plano xy, como se muestra en la cuarta gráfica.
NASA/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.

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CAPÍTULO 5

Funciones de varias variables

Sección 5.1

Introducción a las funciones de varias variables
• • • • • Entender la notación para una función de varias variables. Dibujar la gráfica de una función de dos variables. Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables. Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables. Utilizar gráficos porcomputadora para representar una función de dos variables.

Funciones de varias variables
EXPLORACIÓN

Comparación de dimensiones Sin usar una graficadora, describir la gráfica de cada función de dos variables. a) z b) z c) z d) z e) z x2 x x2 x2 1 y2 y y y2 x2 y2

Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (independiente). Sin embargo, muchos problemas comunesson funciones de dos o más variables. Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza W FD y el volumen de un cilindro circular recto V r 2h son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rectangular V lwh es una función de tres variables. La notación para una función de dos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquí se presentan dos ejemplos. zf x, y
2 variables

x2

xy

Función de 2 variables.

y w f x, y, z
3 variables

x

2y

3z

Función de 3 variables.

Definición de una función de dos variables Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, yel correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango o recorrido de f. En la función dada por z f x, y , x y y son las y variables independientes y z es la variable dependiente. Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro, o n variables donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y n-adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos,el recorrido o rango es un conjunto de números reales. En este capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables. Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común para describir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos que se diga explícitamente, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuaciónestá definida. Por ejemplo, el dominio de la función dada por f x, y x2 y2

Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831.

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MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872)

se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de f x, y ln xy

es elconjunto de todos los puntos x, y en el plano para los que xy > 0. Esto consiste en todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.

SECCIÓN 5.1

Introducción a las funciones de varias variables

299

EJEMPLO 1
y 4

Dominios de funciones de varias variables

Hallar el dominio de cada función. a) f x, y x2 x y2 9 b) g x, y, z x 9 x2 y2 z2

2 1
x

Solución a) La función f está...