Fisica

Análisis de la gravedad mediante la oscilación de un péndulo




















Introducción:

En el laboratorio desarrollado, quisimos comprobar las leyes aplicadas en clases ejemplificándolo con la oscilación de un péndulo y a su vez medir el tiempo que demora al soltar el peso desde un cierto grado de inclinación llegar al otro extremo.

Se hicieron diversas medidastanto manteniendo el largo de la cuerda que sostenía el objeto, como variando este, y así lograr una mayor precisión.



En este laboratorio pudimos observar la oscilación de un péndulo y medir el tiempo que se demora al soltar el peso desde un cierto grado de inclinación, variando la longitud del péndulo que sostiene al objeto.








Información relacionada:



El péndulo es unsistema físico que puede oscilar bajo la acción gravitatoria u otra característica física (elasticidad, por ejemplo) y que está configurado por una masa suspendida de un punto o de un eje horizontal fijo mediante un hilo, una varilla, u otro dispositivo.

Péndulo simple o matemático

Péndulo simple

Componentes del peso de la masa pendular.

También llamado péndulo ideal, está constituidopor un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.

Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimientoPara escribir la ecuación del movimiento, observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

[pic]

Dondeel signo negativo tiene en cuenta que la Ft tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

[pic]

Obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

[pic]



Período de oscilación

Factor de amplificación delperíodo de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de laoscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

[pic]

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

[pic]

Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión másútil:

[pic]

Solución de la ecuación de movimiento

Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud ϕ0 = 0,999π (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud ϕ0 = 0,25π (gris).



Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal defunciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

[pic][pic]

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo...