Fisica

Dinámica del cuerpo rígido:
momento de inercia, aceleración
angular.
En un sólido rígido las distancias relativas de sus
puntos se mantienen constantes.
Los puntos del sólido rígido se mueven con velocidad
angular constante
Ri = ω × Ri
v R r

Nota 1. δi j =

1 si i = j
0 si i j

es el símbolo de Kronecker

Energía Cinética:
E=
i

1
miR i2 =
v
2

i

1
mi(ω × R i)2 =
Rr
2

i

1
mi(ω 2R i2 −
R r
2

R R
(ω .ri)2) =

1

1
2
mi(ri δαβ −
2
i
riαriβ )ωαω β
1
E = Tαβωαω β
2
Tensor de inercia:
2
mi(ri δαβ − riαriβ )

Tαβ =
i

(A × B)(C × D) =ǫi jkA jBkǫi lnClDn =
(δ j lδkn − δ jnδkl)A jBkClDn =A.CB.D − A.DB.C

Momento de Inercia
Rotación alrededor del eje z:
1
2
E = I3ω3
2
I3 es el momento de inercia respecto al eje z:
mid2,di = distancia del punto i al eje z
i

I3 = T33 =
i

Ejercicio 1. Encontrar I1 e I2.
Problema 1. Considere una molécula de Oxígeno (O2)
rotando en el plano xy alrededor del eje z. El eje de rotación
2

pasa a través del centro de la molécula, perpendicular a su
longitud. La masa de cada átomo de Oxígeno es 2.66 10−26
kg, y a temperatura ambiente la separación promedio entre
los dosátomos es d=1.21 × 10−10 m.(Los átomos se suponen
puntuales).
(a) Calcule el momento de inercia de la molécula alrededor
del eje z. R:1.95 × 10−46 kg − m2.
I = m(2d2/4) = md2/2 = 2.66x1.212x10−46 /2
(b) Si la velocidad angular de la molécula alrededor del
eje z es 4.60×1012 rad/s, encuentre la energía cinética de
rotación.R:2.06 × 10−21 J

Cálculo de Momentos de Inercia
Consideremos unsólido de densidad ρ, el momento de
inercia respecto a un eje fijo es:
ρ(xi)d(xi)2d3xi →

I=

d3xρ(x )d(x )2 =
R
R

i

R
R
dm(x ) d2(x )
R puede ser un vector uni,bi o tridimensional.
x
Ejercicio 2. Encuentre el momento de inercia de una
circunsferencia con masa M , uniformemente distribuida,y
radio R, respecto a un eje perpendicular a la circunsferencia
que pasa por su centro.3

I = R2 dm = MR2
Ejercicio 3. Barra uniforme de largo L y masa M .

L
2

I=

L

−2

L3
L3
=ρ
24
12
M
M = ρL, ρ =
L

dxρx2 = 2ρ

4

L2
I =M
12
Ejercicio 4. Cilindro uniforme de radio R,masa M y largo
L.

dm=2πrdrdzρ, I = ρ
R

2πρL

2πrdrdzr 2 =
drr 3 = 2πρL

0
R

M=

R4
4

R2
drr =2πLρ
2πrdrdzρ = 2πLρ
2
0
2
M = πLρR
M
R4 1
I = 2π
L
=MR2
2
2
4
πLR

Ejercicio 5. Casquete cilíndrico

5

I = MR2
Ejercicio 6. Cilindro hueco

dm=2πrdrdzρ, I = ρ
R2

2πρL

2πrdrdzr 2 =

4
4
3 = 2πρL (R2 − R1)
drr

4

R1

R2

2
2
(R2 − R1)
M=
2πrdrdzρ = 2πLρ
drr =2πLρ
2
R1
2
2
M = πLρ(R2 − R1)
M
(R4 − R4)
1
I = 2π
L 2
=
2 − R 2)
4
πL (R2
1
1
2
2
M (R2 + R1)
2
Ejercicio 7. Tablilla rectangular delados a, b

6

dm = ρdxdy
I = ρ dxdy(x2 + y 2) =ρ b
a3
b3
=
2ρ b + a
24
24
M = ρab
a3

I=

a
−2

dxx2 + a

b
2
b
−2

a3
b3
ρ b +a
12
12

b3

M b 12 + a 12
ab

a
2

M 2
(a + b2)
12

=

Ejercicio 8. Casquete esférico de radio R.

dm = ρR2sen θdθdφ

7

dyy 2

=

I=

sen θdθdφ(R sen θ)2

ρR2

π

=2πρR4

dθsen3θ =

0
1

2πρR48
du(1 − u2) = πρR4
3
−1
M = 4πR2 ρ
M
2
8
R4 = MR2
I= π
3
3 4πR2

u = cos θ

Ejercicio 9. Esfera sólida, alrededor del eje z

R

8π
ρR5
15
0
4
M = ρ 4πr 2dr = πR3 ρ
3
8π 3M 5 2
I=
R = MR2
3
15 4πR
5

2
I = ρ4π
3

r 2 drr 2 =

Teorema de los ejes paralelos
I = ICM + MD 2

8

I=
I=

dm(x2 + y 2) x = xCM + x ′ y = yCM + y ′

2
dm(x2 + yCM)
CM

+dm x ′2 + y ′2 + 2xCM dmx ′ + 2yCM dmy ′ =
MD 2 + ICM + 0
Ejercicio 10.

Encuentre el momento de inercia de

9

una barra de largo L y masa M alrededor de un eje
perpendicular a la barra que pasa por un extremo.
L
I =M
2

2

+

1
1
ML2 = ML2
3
12

Momento Angular Total:
R
L=

R i × m iv i
r

miR i × (ω × R i) =
r
R
r

=
i

i

2
mi(ri δαβ − riαriβ )ω β...