Fisica

Semiesfera cargada superficialmente

Una superficie semiesférica tiene una carga superficial uniforme . Determinar el campo eléctrico en el centro de la semiesfera.

Supongamos que lasemiesfera es un bol (o una pelota cortada por la mitad) apoyado en un plano paralelo al plano xy que pasa por z =  R siendo R el radio del bol. De esta manera el problema consiste en calcular el campoeléctrico en el origen de coordenadas.

Cada elemento de superficie de la esfera contribuirá con un vector campo eléctrico . Cada uno de estos infinitos vectores infinitesimales tiene una dirección quepasa por el origen y por un punto de la superficie de la esfera. En general tendrán componentes en x, en y y en z. El sentido de estos vectores será desde el origen hacia el semiespacio z > 0 si ladensidad de carga  es positiva.

Planteamos para el cálculo del campo la expresión:
Donde es el vector posición del punto campo. Recordemos que queremos calcular el campo eléctrico en el centrode la semiesfera, que con nuestra elección de coordenadas queda ubicado en el origen. En este problema, a diferencia de muchos otros, no estamos buscando la expresión del campo en un punto genéricodel espacio en función de las coordenadas.



El vector posición de los puntos fuente (puntos de la superficie esférica) es Parece que será conveniente expresar las coordenadas cartesianas enfunción de las coordenadas esféricas. En adelante omitiremos el “primado” en las coordenadas de la superficie cargada (puntos fuente), ya que no es necesario hacer la distinción con las coordenadas delpunto campo ya que estas son (0, 0, 0).




Para todas las componentes en x y en y existirá una componente opuesta. Por lo tanto el campo total en el origen debe tener dirección z.

Escribimosel diferencial de superficie en coordenadas esféricas, y planteamos la integral…



Los límites de integración para el ángulo  (coordenada angular alrededor del eje z), son 0 y 2, ya que la...