fisica

Sistemas de Part´
ıculas I
Centro de Masa
y Teorema del Momentum

Mario I. Caicedo
Departamento de F´
ısica, Universidad Sim´n Bol´
o
ıvar

´
Indice
1. Centro de Masa

2

2. Momentum lineal de un sistema de part´
ıculas

6

1

3. Teorema del Momentum

9

4. Energ´ Cin´tica de un Sistema
ıa
e

14

5. El Referencial de Momemtum Cero

17

6. El problema de doscuerpos

18

7. Ejemplos

21

7.1. ¿Como calcular un diferencial de volumen I? (el caso plano) . . . . . . . . . . .

21

7.2. C´lculo de centros de masas de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

23

7.3. ¿Como calcular un diferencial de volumen II? (Objetos espaciales) . . . . . . . .

25

7.4. C´lculo de centros de masas de figuras volum´tricas . . . . . . .. . . . . . . . .
a
e

28

8. Problemas

1.

29

Centro de Masa
La primera parte de cualquier curso de f´
ısica elemental nos habitua a tratar cuerpos de

extensi´n finita como si fueran objetos puntuales. As´ por ejemplo, tratamos al sol y la tierra
o
ı
como si fueran dos puntos, a un hombre como si no tuviera extensi´n y lo mismo hacemos con
o
cajas, poleas, etc.
Ciertamentetanto nuestra intuici´n (¿no dir´ usted que una persona vista de muy lejos,
o
ıa
digamos que a dos Km de distancia, se ve como un punto?) como los resultados de algunos
c´lculos basados en estas aproximaciones parecen ser bastante razonables, pero vale la pena
a

2

preguntarse ¿hasta qu´ punto podr´ justificarse la aproximaci´n de part´
e
a
o
ıcula puntual?. Esta
pregunta est´hecha en un sentido matem´tico, en el entendimiento de que la mec´nica pretende
a
a
a
dar un modelo matem´tico de cierta realidad. Debemos entender que el hecho de que nuestras
a
aproximaciones parezcan razonables no significa que tengan alg´n soporte teorem´tico. Siguienu
a
do este orden de ideas dedicaremos las pr´ximas clases a buscar una justificaci´n matem´tica
o
o
a
a la aproximaci´nde part´
o
ıcula puntual.
Con el fin de llevar a cabo este programa debemos introducir el concepto de sistema, para
ello consideremos un conjunto (M) de part´
ıculas y sus interacciones m´tuas, un sistema de
u
part´
ıculas es un subconjunto arbitrario (C ⊂ M) de part´
ıculas del conjunto inicial, el complemento de C recibe la denominaci´n de ambiente ´ exterior, las interacciones entre laspart´
o
o
ıculas
del sistema se denominan fuerzas internas, mientras que las interacciones con las part´
ıculas del
ambiente se denominan: fuerzas externas. La sutileza del concepto de sistema est´ asociada a
a
la arbitrariedad con que se define el sistema, en efecto, la definici´n de un sistema depende de
o
lo que queramos estudiar.
Consideremos por ejemplo el conjunto de objetos f´ısicos constituido por la tierra, la luna, el
sol y el resto del sistema solar, es m´s o menos claro que si queremos estudiar los movimientos
a
de la luna con respecto a la tierra deber´
ıamos tomar como sistema al par tierra-luna, y como
ambiente al resto del sistema solar.
En resumen, lo que se oculta detr´s del concepto de sistema es la idea mecanicista fundaa
mental de aislar lascomponentes de un todo para intentar entender el comportamiento del todo
como resultado del comportamiento de las partes. Con esta idea en mente vamos a introducir
un concepto bastante m´s preciso
a

3

Figura 1: Esta fotograf´ tomada por el telescopio espacial Huble muestra un c´mulo de galaxias.
ıa
u
Cada galaxia tiene un di´metro del orden de los cientos de a˜os luz, sin embargo, la din´micaa
n
a
conque interact´an entre s´ puede aproximarse razonablemente tratando a cada galaxia como
u
ı
si fuera un punto

4

Definici´n 1 Dado un sistema constituido por un conjunto de part´
o
ıcula puntuales de masas
m1 , m2 , m3 ,..., mN , el centro de masa (CM) del sistema es un punto abstracto cuyo vector
de posici´n se calcula por medio de la f´rmula
o
o
R≡

1
M

N

mi...