Fisica

Ley de Gauss
El flujo de campo eléctrico neto sobre una superficie cerrada arbitraria es directamente proporcional a la carga neta encerrada, matemáticamente se expresa como:
donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío.
A está relación se le conoce como ley de Gauss por ser equivalente a la ley de Coulomb. La superficie cerrada es llamada gaussiana. Intuitivamente una superficiecerrada en el espacio tridimensional es cualquier superficie que encierra un volumen, dividiendo a dicho espacio en una región "acotada" y una región "no acotada".
La ley de Gauss es una relación fundamental que conecta el medio, las cargas eléctricas y el flujo de campo eléctrico. Puede ser aplicada para obtener el módulo del campo eléctrico sólo cuando existe un alto grado de simetría de loscuerpos cargados, como en el caso de una esfera, cilindro muy largo, alambres muy largos y planos extensos uniformemente cargados.
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso delconcepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.
El ángulo sólido  que es subtendido por  sobre una superficie esférica, se define como:

siendo  el radio de la esfera.
como el área total de la esfera es  el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si elárea  no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a , se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar  para cada elemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tancompleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera  es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba  para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb tambiénpuede deducirse a través de Ley de Gauss.

Ejemplo 1 Conductor esférico. Un cascaron esférico delgado de radio r0 posee una carga neta total Q, que esta distribuida de manera uniforme sobre su superficie. Determine el campo eléctrico en puntos a) fuera del cascaron y b) dentro del cascaron. c) ¿Qué pasaría si el conductor fuera una esfera solida?

Planteamiento El problema nos dice que la cargaesta distribuida simétricamente, debido a esto el campo eléctrico también será simétrica. El campo fuera de la esfera esta dirigido hacia afuera de la esfera si Q > 0 o hacia dentro de la esfera en caso de que Q <0, y solo dependerá del r, no del ángulo debido a que esta carga se encuentra distribuida a lo largo de la esfera.
Solución a) EL campo eléctrico tendrá la misma magnitud sobretodos los puntos de una superficie gaussiana, si elegimos esta superficie como una esfera de radio r(r>r0 ) concéntrica con el cascaron, como se muestra en la figura, con el circulo entrecortado A1. Como E es perpendicular a esta superficie, el coseno del ángulo entre E y dA siempre es 1. La ley de gauss da entonces (con Qenc = Q en la ecuación)
E* dA=E4πr2= Q∈0
Donde 4πr2 es el área de lasuperficie de nuestra esfera gaussiana de radio r. Asi que E= 14π∈0 Qr2 (r >r0 )
En consecuencia, el campo afuera del cascaron esférico de manera uniforme es el mismo, como si toda la carga estuviera concentrada en el centro, como una carga puntual.
b) Dentro del cascaron, el campo eléctrico también...