fisica

Límites y continuidad
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Teoría sobre límites
Objetivos
a. Enunciar y reconocer los límites trigonométricos fundamentales.b. Emplear en el cálculo de límites que involucran expresiones
trigonométricas, los límites trigonométricos fundamentales.
Contenidos
a. Límites trigonométricos fundamentales.
b. Cálculo de límitesque involucran expresiones trigonométricas.

Límites trigonométricos fundamentales

Aceptaremos sin demostración que

1 − cos x
senx
=0
= 1 y lim
x →0
x →0
x
x

lim

y losdenominaremos límites trigonométricos fundamentales1. Estos dos
resultados se emplean en el cálculo de otros límites que involucran
expresiones trigonométricas. Es importante resaltar que en ambos límites
x→ 0.
Ejemplos
Si existe, determine el valor de los siguientes límites

1 − cos 2 x
1 − cos x
1 − cos x 1 + cos x
sen 2 x
= lim
= lim
= lim
⋅
x →0
x→0
1 + cos x x →0 x(1 + cos x ) x →0 x(1+ cos x
x
x

1. lim

= lim
x →0

)

1
sen x
1
⋅ sen x ⋅
= 1⋅ 0 ⋅ = 0
(1 + cos x )
2
x

Demostrando, de esta manera, el segundo límite fundamental.
La gráfica nos permitevisualizar la situación
y
f ( x) =

1 − cos x
x

x

La demostración de estos límites puede ser encontrada en cualquier libro de Cálculo.
Se demuestra solamente el segundo y al final aparece lagráfica del primero.
1

1

Límites y continuidad
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1 − cos x
1 − cos x
lim
1 − cos x
x →0
0
x
x
= lim
=
= =0
2. limx →0
x →0
senx
senx
senx
1
lim
x →0
x
x

sen 3x
, si hacemos un cambio de variable “ u = 3 x ” y analizamos que
x →0
3x
cuando x → 0 entonces u = 3 x → 0 tendremos
sen u
lim
=1
u →0u

3. lim

sen kx
haciendo un análisis similar al anterior sea u = kx , entonces
x →0
kx
cuando x → 0 , así u = kx → 0 y tendremos
sen u
lim
=1
u →0
u

4. lim

Lo anterior se...