fisica

Trabajo y Energ´
ıa

Mario I. Caicedo

Departamento de F´
ısica

Universidad Sim´n Bol´
o
ıvar

´
Indice
1. Motivaci´n
o

2

2. Elementos de Matem´ticas
a

4

2.1. Desplazamiento Infintesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.1. El Peso cerca dela Tierra: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2.2. La Fuerza de Interacci´n Electrost´tica: . . . . . . . . . . . . . . . .
o
a

8

2.3. Integrales de L´
ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3.1. T´cnicas de c´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
a

10

2.4. Dependencia de las Integrales de l´ınea en los Caminos. Campos Conservativas

12

3. El Teorema del Trabajo y la Energ´
ıa

14

4. Energ´ Potencial
ıa

15

4.1. M´s acerca de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

1

18

1.

Motivaci´n
o
Uno de los problemas fundamentales relaconados con las leyes de Newton es el de encon-

trar la posici´n de una part´
o
ıcula en funci´ndel tiempo a partir de la fuerza neta aplicada
o
sobre ella y de las condiciones iniciales del movimiento. Desde el punto de vista matem´tico,
a
este problema consiste en resolver tres ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
acopladas1 y en general es un problema que no posee soluciones cerradas2 .
En esta secci´n queremos introducir las ideas fundamentales que soportan elconcepto de
o
energ´ y que elaboraremos con mayor detalle en el resto de las notas. Con este fin, consideıa
remos una part´
ıcula de masa m que se mueve a lo largo de una recta bajo la influencia de una
fuerza neta F, caso en el cual la ecuaci´n de movimiento para la particula ser´ sencillamente
o
a
mx = F ,
¨

(1)

supongamos adicionalmente que la fuerza depende de la posicion de laparticula, esto es:
F = F (x), de manera que podemos reescribir la ecuacion de movimiento como
mx
˙

dx
˙
− F (x) = 0
dx

(2)

donde hemos utilizado la regla de la cadena para expresar la aceleraci´n como
o
x=
¨

dx dx
˙
dv
=v
,
dx dt
dx

(3)

lo que en definitiva nos permite reexpresar la segunda ley de Newton en forma diferencial
como sigue:
m v dv − F (x) dx = 0 .
1
2una para cada coordenada de la part´
ıcula
es decir, en t´rminos de funciones elementales
e

2

(4)

Ahora bien, si suponemos que U(x) es una funcion3 tal que
d U(x)
= F (x) ,
dx

(5)

d(m v 2 /2) = m v dv

(6)

−
y observamos adicionalmente que

la forma diferencial de la segunda ley de Newton puede reexpresarse como
d

m v2
+ U(x) = 0
2

(7)

´
o
m v2
+ U(x)= constante
(8)
2
La constante que aparece en el miembro derecho de la igualdad (8) puede y debe pensarse
como una de las dos constants de integraci´n asociadas al problema de integraci´n de la
o
o
ecuaci´n de movimiento, es a esta constante lo que denominamos energ´ mec´nica total
o
ıa
a
(E) de la part´
ıcula. Debemos destacar que la existencia de E depende de la existencia de lafuncion U(x) que a su vez recibe el nombre de energia potencial.
Recapitulando lo que acabamos de hacer y reexpres´ndolo en el lenguaje usual de los
a
matem´ticos podemos afirmar que hemos demostrado lo siguiente
a
Teorema 1 Si en un movimiento a lo largo de una recta existe una funcion U(x) relacionada
con la fuerza que act´a sore la part´
u
ıcula como
F =−

dU(x)
dx

(9)

la energ´mec´nica total de la part´
ıa
a
ıcula
E≡

m v2
+ U(x)
2

es una constante del movimiento.
3

cuando la fuerza solo depende de la posici´n, siempre es posible encontrar una tal funci´n U (x)
o
o

3

(10)

Podemos construir un teorema relacionado volviendo directamente sobre la ecuacion de
Newton, en efecto, integremos la ecuacin de movimiento entre dos puntos espaciales A y...