Fisica

Leyes de Kepler
y
Ley de Gravitación Universal

Leyes de Kepler y Ley de Gravitación Universal
Guía para el video
En este texto se hace una revisión del contenido del video ¨Leyes de Kepler y Ley de Gravitación
Universal, Temas de las Olimpiadas de Astronomía¨. En el video no se mostraron algunos pasos del
procedimiento matemático. En este texto describimos dichos pasos con la idea dehacer más
comprensible el procedimiento. Además, tratamos de describir con más detalle los ejemplos del video y
también incluimos algunos otros ejemplos.
Lo anterior lo hacemos con el propósito de que profesores de bachillerato y preparatoria puedan usar
esta guía en clases. La idea es que resuelvan algunos ejemplos con los estudiantes para revisar con
más detalle los conceptos abordados en elvideo.
1.- PRIMERA LEY DE KEPLER
La primera Ley de Kepler la podemos describir de la siguiente manera:
Cada planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica y el Sol se encuentra en uno
de los focos de dicha elipse.
Para entender mejor la descripción anterior vamos a revisar algunos conceptos relacionados a la elipse,
con los cual podremos entender qué significa que la órbitade un planeta sea elíptica.
1.1 Parámetros de una elipse
Eje mayor y eje menor
Una elipse tiene dos ejes, el eje mayor y el eje menor pero, en matemáticas es más común usar los
semiejes, los cuales corresponden a la mitad de los ejes.
El semieje mayor es un término muy importante, aquí lo vamos a denotar con la letra a (minúscula)
aunque, en el video se usó la A (mayúscula) para denotarlo.Este término se usa mucho en las
expresiones matemáticas de la elipse.
Focos de una elipse
Una elipse tiene dos puntos llamados focos que se encuentran sobre el eje mayor. Usando los focos
vamos a esquematizar de una forma sencilla la definición matemática de una elipse. Primero, vamos a
suponer que tenemos dos clavos en una tabla. Si con un hilo hacemos un aro y el aro lo hacemos pasar
porlos dos clavos y también por un lápiz colocado sobre la tabla, entonces podemos dibujar una elipse,
solo tenemos que ir girando el lápiz alrededor de los clavos manteniendo tenso el hilo.
Las posiciones de los clavos son los focos de
la elipse. Matemáticamente lo anterior significa que cada uno de los puntos de la elipse debe cumplir
con la siguiente condición. La suma de la distancia entre losfocos(F), la distancia entre un foco y un
punto dado de la elipse (Q) y la distancia entre el otro foco y dicho punto (R), es constante. Es decir,
siempre va a ser la misma distancia. En el ejemplo esa distancia es simplemente la longitud del hilo que
se usó para hacer el aro.
Excentricidad
Para tener una idea de que tan alargada es una elipse se usa el término excentricidad. Una de lasformas de expresar la excentricidad es
a
e = C
donde a es el semieje mayor y C es la distancia entre un foco y el centro de la elipse.
La excentricidad de una elipse es mayor entre más alargada sea ésta y su valor siempre va a estar
entre cero y uno. A medida que la excentricidad disminuye el eje mayor de la elipse disminuye y el valor
de C también. Si la excentricidad es igual a cero entoncesel centro de la elipse coincide con los focos y
tenemos una circunferencia. Ese caso lo expresamos matemáticamente como
C =0
entonces
0 =0
a
Lo cual, precisamente indica que una elipse con excentricidad igual a cero es equivalente a que la
distancia entre un foco y el centro sea cero.
En términos de la excentricidad (E), la distancia mínima al Sol es
= (1-e ) min r a
donde a es el semiejemayor. La distancia máxima es
= (1+e ) max r a
El punto más cercano es el afelio y el más lejano es el perihelio.
1.2 Excentricidad de la órbita de la Tierra.
Sol Tierra
Como ejemplo del uso de la excentricidad de las órbitas, vamos a ver el caso de la órbita de la Tierra.
La excentricidad de la órbita de la Tierra es de 0.017. De acuerdo a la definición que dimos
anteriormente esto...