fisica

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Relaci´ n de problemas tema 4
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Tensores
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Algebra Lineal y Geometr´a, Curso 2012-2013
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Grado en F´sica, Universidad de Granada
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Ejercicio 1: Decidir si lassiguientes aplicaciones son tensores o no y, en caso afirmativo,
especificar de que tipo:
1. T : R3 = R × R × R → R, T (x, y, z) = xyz,
2. T : R2 = R × R → R, T (x, y) = x,
3. T : Rn × Rn∗ × Rn∗ → R, T (v,ϕ, ψ) = ϕ(v) ψ(v),
4. T : Cn × Cn∗ × Cn∗ → C, T (v, ϕ, ψ) = 2ϕ(v) − ψ(v),
5. T : Kn × Kn × Kn∗ × Kn∗ → K, T (u, v, ϕ, ψ) = ϕ(u) ψ(v).
Ejercicio 2: Dados un espacio vectorial V , un endomorfismo f :V → V y un tensor
T ∈ T(2,0) (V ), se define la aplicaci´n Tf : V × V → K dada por Tf (u, v) = T (f (u), f (v)).
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Demostrar que Tf ∈ T(2,0) (V ).
Ejercicio 3: Se considera el tensor 2-covarianteT : R2 × R2 → R dado por:
T ((x, y), (x , y )) = xx + 3yx + 2xy − yy .
Sean T1 y T2 los tensores 2-covariantes construidos a partir de T mediante:
T1 ((x, y), (x , y )) = T ((x, y), (x , y )) + T((x , y ), (x, y)),
T2 ((x, y), (x , y )) = T ((x, y), (x , y )) − T ((x , y ), (x, y)).
Comprobar que {T1 , T2 } son linealmente independentes y calcular T como combinaci´n lineal
o
de T1 y T2 .Ejercicio 4: El objetivo de este ejercicio es demostrar que, en general, el producto tensorial
∗
no es conmutativo. Sea Bu = {e1 , e2 } la base usual de R2 y Bu = {ϕ1 , ϕ2 } su base dual.
Calcularlos tensores e1 ⊗ e2 y e2 ⊗ e1 . Deducir que (e1 ⊗ e2 )(ϕ1 , ϕ2 ) = (e2 ⊗ e1 )(ϕ1 , ϕ2 ).
Ejercicio 5: Sea T : V ×V ∗ → K el tensor de tipo (1,1) definido por T (v, ϕ) = ϕ(v). Calcular
T ⊗ T , T ⊗ T⊗ T y T ⊗ u ⊗ T , siendo u ∈ V .
Ejercicio 6: Consideramos la base de R2 dada por B = {v1 = (1, 0), v2 = (1, 1)} y su base
dual B ∗ = {ϕ1 , ϕ2 }. Calcular las correspondientes bases B(2,0) , B(1,1) yB(0,2) de los espacios
T(2,0) (R2 ), T(1,1) (R2 ) y T(0,2) (R2 ). Determinar las coordenadas respecto de B(1,1) del tensor
T : R2 × R2∗ → R dado por T (v, ϕ) = ϕ(v).

Departamento de Geometr´...