Fisica

N´meros Complejos u
Se define el conjunto de los numeros complejos, el cual se denota por C, como el ´ conjunto de pares ordenados (x, y) con x, y

´ Ingenier´a Civil Biomedica 2010 ı ´ Ciencias Matematicas 525101
´ Notacion. Por z

∈I . R

´ = (x, y) se indicara que llamamos z al numero complejo (x, y). ´

MODULO ALGEBRA

Igualdad. Sean w

= (a, b) y z = (x, y) ∈ C. Entonces, w = z⇐⇒ a = x ∧ b = y.

Numeros Complejos ´
Prof. Manuel Campos P. ´ Depto. de Ingenier´a Matematica, U. de C. ı

Operaciones binarias internas en C ´ • Adicion (+): ´ • Multiplicacion (·):

: +:C×C→C y ·:C×C→C

(x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) (x, y) · (a, b) = (xa − yb, xb + ya)

Estas operaciones tienen las propiedades siguientes.
´ DIM – Universidad de Concepcion. ´ DIM – Universidadde Concepcion.

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N´meros Complejos u N´meros Complejos u
´ Propiedades de la adicion ´ Propiedades de la multiplicacion

∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, se tiene: • z1 · z2 = z2 · z1 • z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
(Conmutatividad) (Asociatividad) (0 (Conmutatividad) (Asociatividad) (1

∀z, z1 , z2 , z3 ∈ C, z = (x, y), se tiene: • z1+ z2 = z2 + z1 • z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 • ∃0∈C: z+0=z • ∃ (−z) ∈ C : z + (−z) = 0

• ∃1∈C: 1·z =z • ∃z
−1

:= (1, 0) neutro multiplicativo)
inverso multiplicativo de z

∈C: z·z

−1

=1

(z

−1

= 0)

:= (0, 0) Neutro aditivo)
(−z Inverso aditivo)

´ Ademas, se tiene:

• z1 ·(z2 + z3 ) = z1 ·z2 + z1 ·z3
El conjunto

(Distributividad de · con respecto a +)C con sus operaciones + y · se denota (C, +, ·). Las nueve propiedades anteriores muestran que (C, +, · ) es un cuerpo conmutativo.

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N´meros Complejos u
Observaciones

N´meros Complejos u
= {(x, 0) : x ∈ I es isomorfo con I . Es decir, cada R} R numeroreal x se identifica con el numero complejo (x, 0). ´ ´
Teorema. El conjunto S

• El neutro aditivo y el neutro multiplicativo son unicos. ´
´ • El inverso aditivo, y el inverso multiplicativo para z = 0, son unicos.

x = (x, 0),

1 = (1, 0),

0 = (0, 0).

• Sean w = (a, b) y z = (x, y) ∈ C. Entonces el inverso aditivo de z es:
´ −z := (−x, −y) y ademas

Definiciones. Sea z

w − z:= w + (−z) = (a − x, b − y).

= (x, y) ∈ C.

• La parte real de z es x y se denota Re(z). La parte imaginaria de z es y y se denota Im(z). As´: ı z = (x, y) = ( Re(z), Im(z) ). • Los numeros complejos z = (x, 0) se llaman complejos reales y los numeros ´ ´ complejos z = (0, y) se llaman imaginarios puros. • i = (0, 1) es la unidad imaginaria.

• Para w = (a, b) y z = (x, y) = (0, 0), elinverso multiplicativo de z es: z −1 ≡
´ Ademas,

−y 1 x , ). := ( 2 z x + y 2 x2 + y 2

ax + by bx − ay w 1 = ( 2 := w · , ). z z x + y 2 x2 + y 2

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N´meros Complejos u
Forma algebraica

N´meros Complejos u
Conjugado de un numero complejo ´ Elconjugado del numero z ´

= x + yi es el numero complejo z definido por: ´ z := x − yi.

´ • La forma algebraica o binomica de un numero complejo z = (x, y) es: ´

x + yi, o bien como, x + iy,

con i unidad imaginaria. Propiedades. Para z

´ ´ • Las operaciones de adicion y multiplicacion se expresan como sigue: ´ adicion

= x + yi, w ∈ C se tiene:

• Re(z) = Re(z). • z + z = 2x = 2Re(z), z− z = 2yi = 2Im(z)i. • z · z = x2 + y 2 . • z + w = z + w. • zw = z · w. • z = z ⇐⇒ z = x es un complejo real. • z = −z ⇐⇒ z = iy es un imaginario puro.

: :

(x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b)i. (x + yi) · (a + bi) = (xa − yb) + (xb + ya)i.

´ multiplicacion

´ ´ • Producto de un numero real y un numero complejo. Para

λ ∈ I y z = x + yi ∈ C: λ · z = (λx) + (λy)i. R

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