fisica

IX. LA PARÁBOLA
9.1. LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Definición: Se llama parábola al lugar geométrico de un punto “ P ” que se mueve en
un plano, en forma tal que su distancia a un punto fijo “ F ” (llamado foco) es igual a su
distancia a una recta fija “ D ” (llamada directriz).

Una interpretación gráfica de esta
definición puede ser la siguiente, en
donde por definición d (PF ) = d(PA)

9.2. CONSTRUCCIÓN DE UNA PARÁBOLA CON REGLA Y COMPÁS
El siguiente procedimiento es una forma de construir una parábola utilizando regla y compás,
sobre la base de que conocemos la directriz “ D ”
y el foco “ F ” de la parábola.
a) Se traza el eje focal (o simplemente eje)
que es la recta que pasa por el foco y es
perpendicular a la directriz “ D ” y la cruza
en el punto “ E ”.
b)Se determina el vértice “ V ” de la parábola
que es el punto medio del segmento EF .
c) Se eligen arbitrariamente algunos puntos
sobre el eje focal a la derecha del vértice,
sean por ejemplo E1 , E 2 , E 3 , E 4 , E5 , … Por
cada uno de estos puntos se trazan
rectas paralelas a la directriz (cuerdas).
218

d) Con un compás, haciendo centro en el foco “ F ” y radios EE1 , EE 2 , EE3 , EE 4, EE5 ,…
se trazan arcos de círculo que cortan a cada cuerda (segmento de recta que une dos
puntos cualesquiera de la parábola) en los puntos P1 , P1' , P2 , P2' , P3 , P3' , P4 , P4' , P5 , P5' ,…
Estos puntos pertenecen a la parábola (cumplen con la definición).
e) Uniendo con línea continua los puntos anteriores junto con el vértice, podemos trazar
una parte de la parábola ya que es unacurva que se extiende indefinidamente y en la
hoja de papel solo podemos dibujar parte de ella.
f) Observar cualquier parábola es simétrica respecto a su eje.

9.3. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN LAS FORMAS
ORDINARIA Y GENERAL CON EJE FOCAL PARALELO
CON LOS EJES COORDENADOS
Para resolver este problema, nos remitiremos nuevamente a la ayuda de los sistemas
de coordenadas, para interpretar ydescribir las relaciones existentes de un lugar geométrico
en el plano cartesiano y las expresiones algebraicas que lo representan.
● Consideremos una parábola con su eje paralelo al
eje “ x ”.
● Denotemos por “ h ” y “ k ” las coordenadas del
vértice V (h, k ) .
● Si la distancia del vértice al foco es
d (VF ) = p = d (EV ) , entonces las coordenadas del
foco son F (h + p, k ) .
● El punto “A ” es el pié de la perpendicular desde
el punto P ( x, y ) a la directriz “ D ” y sus
coordenadas son A(h − p, y ) .
● Por definición d (PF ) = d (PA) , aplicando la fórmula
de la distancia entre 2 puntos del plano, se tiene:
d (PF ) =

(x

− x F ) + (y p − y F ) =
2

p

2

(x

− x A ) + ( y p − y A ) = d (PA)
2

p

2

sustituyendo valores:

[x − (h + p )]2 + ( y − k)2

=

[x − (h − p )]2 + ( y − y )2

( x − h − p )2 + ( y − k )2

= x−h+ p

elevando al cuadrado ambos miembros, desarrollando, simplificando y ordenando:

( x − h − p ) 2 + ( y − k )2 = ( x − h + p )2
219

/
/
x 2 + h 2 + p 2 − 2hx − 2 px + 2 ph + y 2 − 2ky + k 2 = x 2 + h 2 + p 2 − 2 hx + 2 px − 2 ph
/
/
y 2 − 2ky + k 2 = 2 px + 2 px − 2 ph − 2 ph

( y − k )2 = 4 px − 4 ph( y − k )2 = 4 p ( x − h )
La ecuación
siguientes de sus:

; p>0

es la FORMA ORDINARIA de la parábola con las características

ELEMENTOS:
Ecuación del eje focal: y = k , ecuación de la directriz “ D ”: x = h − p , coordenadas del
vértice: V (h, k ) , coordendas del foco: F (h + p, k ) con p > 0 , la cuerda que pasa por el foco y
es paralela a la directriz es el LADO RECTO (o anchofocal) de la parábola y la denotamos
con las letras L y R , como son puntos de la parábola sus coordenadas deben satisfacer su
ecuación, o sea que sabemos que su abscisa es (h + p ) , su ordenada es: sustituyendo en

( y − k )2 = 4 p(h + p − h ) ; ( y − k )2 = 4 p 2
L(h + p, k + 2 p ) y R (h + p, k − 2 p ) .

;

y = k ± 4 p2

;

y = k ± 2p,

por

lo

tanto,

El primer miembro...