fisica

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

Introducción breve

Algebra lineal

Vectores, rectas
y planos en R3
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Walter Mora F.
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica

Versión 1.0 - Julio 2011

VECTORES, RECTAS Y PLANOS.
VERSIÓN 1.0. JULIO 2011.

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Prof. Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
(www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

Julio, 2011.

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Contenido

1

Vectores
1.1
1.13
1.15
1.24
1.30
1.32
1.38
1.44

2

Operaciones Básicas
Propiedades de los vectores
Producto punto y norma.
Ángulo entre vectores en R3 .
Paralelismo, perpendicularidad y cosenos directores.
Proyección ortogonal
Producto Cruz en R3
(*) Elproducto cruz solo existe en R1 R3 y R7 .

Rectas y Planos en el espacio
2.1
2.7
2.9

3

1

R3 .

Rectas en
Distancia de un punto a una recta
Rectas en R2

2
7
7
11
13
14
17
21
24
24
28
29
31

3.1
3.2
3.5
3.10
3.12
3.14
3.15
4

Planos.

31
31
34
37
38
39
39

Ecuación vectorial
Ecuación normal y cartesiana.
Paralelismo, perpendicularidad y ánguloIntersección entre recta y plano.
Distancia mínima de un punto a un plano.
El punto de un plano más cercano a un punto dado.
Proyección ortogonal sobre un plano.

Rotación de un punto alrededor de una recta.

42

Bibliografía

44

Bibliografía

44

1

VECTORES

A partir de la representación de R, como una recta numérica, los elementos ( a, b) ∈ R2 se asocian con puntos deun plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangulares donde la interseccón representa a (0, 0) y cada ( a, b) se asocia con un punto de coordenada a en la recta
horizontal (eje X) y la coordenada b en la recta vertical (eje Y).

Figura 1.1

Punto ( a, b)

Analógamente, los elementos ( a, b, c) ∈ R3 se asocian con puntos en elespacio tridimensional definido con tres
rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X,
Y y Z).
Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y en R3 . La dirección
de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

→ → →
Notación. Los vectoresse denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba tales como − , − , − . Los
v y z
puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A , B , C . En el contexto de los vectores, los números reales
serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como α, β, k.

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Figura 1.2

Punto ( a, b, c)

....