fisica

vectores
Puntos en el espacio n-dimensional:

y

(x,y)

x

0

x

a) Punto sobre una recta

b) Punto en un plano

eje z

(x,y,z)

(x1,x2,x3,…xn)
eje y

d) Punto en el espacio n-dimensional
eje x

c) Punto en el espacio

• Se pueden sumar dos puntos así:
Si A y B son dos puntos, por ejemplo: A= (a1, a2, a3,…an) y B= (b1, b2, b3,…bn)
Entonces se define A+B como elpunto cuyas coordenadas son:
(a1+b1, a2+b2, a3+b3,…, an+bn)
Por ejempo, si A=(-1,3) y B=(4,-1), entonces A+B=(3,2).
• Si c es cualquier número, se define cA como el punto cuyas coordenadas son:
(ca1, ca2, ca3,…can).
Por ejemplo si A=(-8, 3) y c=5, entonces cA=(-40, 15)
Se cumplen tambien las siguientes reglas
• (A+B)+C=A+(B+C)
• A+B=B+A
• c(A+B)=cA+cB
• Si c1 y c2 son números se cumple :(c1 + c2)A= c1 A+ c2 A y (c1 c2)A= c1 (c2)A
• Si 0=(0,0,…,0) es el punto cuyas coordenadas so todas 0, entoces 0+A=A+0
• 1•A=A, (-1)A=-A, entonces A+(-A)=0

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA SUMA
Si se tienen los puntos A=(2,3) y B=(-1,1) entonces A+B=(1,4).
Si se representan estos puntos gráficamente en un plano se tiene:

A+B

(1,4)

A

(2,3)

(-1,1)

B

paralelogramoREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA
MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO
Sean A=(1,2) y c=3. Entonces cA=(3,6), como se muestra en la figura:

2A

(3,6)

(1,2)

-2A

Vectores Localizados
Se define un vector localizado como un par ordenado de puntos que se indican
como AB. Se puede visualizar este vector como una flecha entre A y B, donde
A es el punto inicial y B el punto final del vector localizado.

Bb2
a2

Dos vectores localizados AB. y CD. son
equivalentes, si B-A=D-C. Todo vector
localizado AB. es equivalente a aquel
cuyo punto inicial es el origen, porque AB.
es equivalente a 0 ( B − A)

A
B

5
A

4

0

a1

b1

B-A=(4,5)-(1,4)
=(3,1)
D-0=(3,1)-(0,0)
=(3,1)

D
0

1

3

4

Dado un vector localizado 0C cuyo punto inicial es el origen, se dirá que estálocalizado en el origen. Dado cualquier vector AB se dirá que está localizado
en A. un vector localizado en el origen está completamente determinado por
su punto final. Por esta razón a una n-upla se le llamará vector o punto, según
la interpretación que se tenga en mente.
Se dice que dos vectores localizados AB y PQ son paralelos si existe un número c≠0
tal que B-A=c(Q-P). Se dice quetienen la misma dirección si existe un número c>0 tal
que B-A=c(P-Q), y que tienen direcciones opuestas si existe un número c0
Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores y las siguientes identidades:
(A+B)2=A2+2A•B+B2
(A-B)2=A2-2A•B+B2

El producto escalar A•B puede ser igual a cero sin que A o B sean vectores nulos.
Por ejemplo:
(1,3)

A=(1,3) y B=(3,-1)

A•B=-3-3=0

A=(1,3) yB=(9,-3)
(3,-1)

#
#

A•B=-9-9=0

A=(1,2,3) y B=(2,1,-4/3)

# A•B=2+2-4=0

Sean E1=(1,0,0), E2=(0,1,0), E3=(0,0,1), los tres vectores unitarios,
como se muestra en la figura:

eje z

Se ve entonces que E1iE2=0, y en
general EiiEj=0, si i≠j.
E3

E1

eje x

E2

eje y

Si A= (a1, a2, a3,…an) , entonces
ai=AiEi,, A es perpendicular a Ei si y
solo si su i-esima componentees igual
a cero.

NORMA DE UN VECTOR
A = A⋅ A

La norma o longitud de un vector se define por:

O, en términos de las coordenadas:

2
2
A = a12 + a2 + ... + an

Cuando n=2 (espacio bidimensional):
A = a 2 + b2

b

Si A=(1,2) entonces:

A = 1+ 4 = 5

a

PROPIEDADES DE LA NORMA

si A ≠ 0

A ≠0

si A es cualquier vector A = -A
si x es un nùmero xA = x A , donde x esel valor absoluto
E es un vector unitario si E =1

Dado cualquier vector A, si a= A y a ≠ 0
A
es un vector unitario
→
a
A a
porque
= =1
a
a

Dos vectores tienen la misma dirección si existe un número c
tal que cA=B

E es un vector unitario en la direcciòn deA y A = a
→ A=aE
Distancia entre 2 vectores:

A-B =

( A − B )i( A − B )

Dos vectores son perpendiculares si A-B =...