FISICA

FORMAS NORMALES
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
´
E. SAEZ

La idea general de la Teor´ de Formas Normales consiste en encontrar un sistema
ıa
de coordenadas donde una determinada expresi´n se reduce a una expresi´n equivao
o
lente que contiene s´lo los t´rminos m´s relevantes, por ejemplo, es conocido en el
o
e
a
estudio de las cuadr´ticas reales en dos variables reales concoeficientes constantes,
a
que existen traslaciones y rotaciones en el plano que permiten definir nuevas coordenadas donde la ecuaci´n de la cuadr´tica no contiene el t´rmino mixto y no contiene
o
a
e
al menos un t´rmino lineal ya que son irrelevantes para la forma cualitativa de la
e
gr´fica de la cuadr´tica. Dichas ecuaciones son llamadas Can´nicas. Otro ejemplo
a
a
o
conocido es en el estudiode las matrices cuadradas, donde se demuestra que existen
bases adecuadas en los Espacios Vectoriales respectivos tales que mediante transformaciones lineales es posible representar la matriz en t´rminos de los valores propios
e
que son los n´meros realmente relevantes de la matriz. Dichas matrices se dicen de
u
Jordan.
La expresi´n general de una Ecuaci´n Diferencial Parcial Lineal Real deSegundo
o
o
Orden en dos variables, definida en un dominio Ω del plano en coordenadas cartesianas
es de la forma
2

(1)

2

2

∂ u
a(x, y) ∂ u + 2b(x, y) ∂x∂y + c(x, y) ∂ u + d(x, y) ∂u + e(x, y) ∂u +
∂x2
∂y 2
∂x
∂y
f (x, y)u + g(x, y) = 0

donde los coeficientes a, b, c : Ω → R son funciones en dos variables que admiten
desarrollos de Taylor convergentes y no se anulansimultaneamente en Ω. Los coeficientes d, e, f, g : Ω → R son funciones en dos variables y continuas.

Como la ecuaci´n (1) es de segundo orden, veremos en lo que sigue que siempre es
o
posible reducir los coeficientes de las derivadas de segundo orden a constantes muy
simples mediante un cambio de coordenadas definidas por sistema de ecuaciones de
la forma
(2)

ξ = ξ(x, y)
η = η(x, y)

∂(ξ,η)∂(x,y)

con

= 0 , ∀(x, y) ∈ Ω

tal que (1) en las nuevas coordenadas es equivalente a una de los siguientes tipos
de ecuaciones m´s sencillas, llamadas Formas Normales , o bien , formas Formas
a
Departamento de Matem´tica, UTFSM
a
e–mail: eduardo.saez@usm.cl.
1

´
E. SAEZ

2

Can´nicas de (1).
o

 1.a)



 1.b)


2.a)
FormasNormales :

 2.b)




3)

(3)

∂2u
∂ξ 2

∂2u
∂η 2
∂2u
∂ξ∂η
∂2u
∂η 2
∂2u
∂ξ 2
∂2u
∂2u
+ ∂η2
∂ξ 2

−

+ T.O.I.
+ T.O.I.
+ T.O.I.
+ T.O.I.
+ T.O.I.

=0
=0
=0
=0
=0

donde T.O.I., designa los t´rminos de orden inferior al efectuar el cambio de coordee
nadas (2) a (1) para obtener (3).
Definici´n. Diremos que la ecuaci´n (1) es de tipo Hiperb´lica, ´ Parab´lica,
o
o
o
o
o
o bien,El´
ıptica, si y s´lo si existe un cambio de coordenadas tal que la ecuaci´n se
o
o
puede escribir en la Forma Normal 1., ´ 2., o bien 3., respectivamente.
o
N´tese de (3) que no existe unicidad de Formas Normales. Adem´s, las formas 1.),
o
a
2.) y 3.) son por definici´n de tipo Hiperb´licas, Parab´licas y El´
o
o
o
ıptica, respectivamente.
En F´
ısica e Ingenier´ es
ıa
 2
u
 ∂ u− ∂ 22
 ∂x2
∂t
2u
∂
∂u
2 − ∂t
 ∂∂x ∂ 2 u
2u
 2+ 2
∂x
∂y

frecuente encontrar las E.D.P.
= 0 Ecuaci´n de Onda Unidimensional
o
= 0 Ecuaci´n de Calor Unidimensional
o
= 0 Ecuaci´n de Laplace Bidimensional
o

Estas ecuaciones son ejemplos inmediatos de Ecuaciones de tipo Hiperb´lica, Parab´lica
o
o
y El´
ıptica, respectivamente.
Teorema
La E.D.P. (1) es reducible en Ω a laforma:
1) Hiperb´lica si y s´lo si b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) > 0 , ∀(x, y) ∈ Ω
o
o
2) Parab´lica si y s´lo si b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) = 0 , ∀(x, y) ∈ Ω
o
o
3) El´
ıptica si y s´lo si b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y) < 0 , ∀(x, y) ∈ Ω
o
Demostraci´n
o
Sea ∆ : Ω → R tal que ∆(x, y) = b2 (x, y) − a(x, y)c(x, y). Demostraremos
en primer lugar que en Ω, el signo del discriminante...