fisica

ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
PRACTICA SOBRE TRANSFORMACIONES LINEALES 2012

Al abordar el estudio del álgebra lineal se han encontrado a menudo con conceptos muy abstractos y que en muchos casos no tienen conexión con argumentos geométricos o físicos. Es muy posible que hayan sentido que los contenidos estudiados no tienen relación con la realidad.
Si tenemos encuenta que los sentidos son los canales por los cuales accedemos a la información, surge casi inevitablemente la importancia de la “visualización” de los conceptos que aclara y facilita la comprensión y que además está estrechamente vinculada con modelos mentales intuitivos, simbolización y modelado, y es de gran utilidad para unir la intuición y el rigor requerido para el pensamiento matemático.Las transformaciones lineales, se presentan muchas veces como conceptos abstractos, sin embargo muchas de ellas están presentes en la vida diaria como cuando “nos miramos al espejo”.
Muchas de las transformaciones lineales que hemos estudiado, conservan la forma y las medidas de las figuras u objetos, como por ejemplo las simetrías y las rotaciones otras sin embargo pueden modificar susdimensiones como las homotecias y en algunos casos también sus formas como las proyecciones.

Con el software Matlab es posible visualizar los efectos que produce una transformación lineal sobre una figura. Los siguientes son ejemplos de archivos .m de comandos y de función que muestran algunos de estos efectos.
Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en elespacio respecto de la base canónica de :




















El procedimiento a seguir es el siguiente:
1º Se ingresa en una matriz las componentes de los vértices de la figura plana en cada columna, repitiendo al final el primer vértice de manera que se cierre la figura.
2º Se forman los vectores x e y de las abscisas y ordenadas de los vértices y se realiza lagráfica de la figura.
3º Se realiza el producto A*T a fin de obtener las imágenes.
4º Se construyen los vectores x1, y1 de las abscisas y ordenadas de las imágenes y se realiza la gráfica, en una misma gráfica, de la transformación de la figura.
Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en el espacio respecto de la basecanónica de :



























Ejemplo 1.
La transformación lineal f: tal que aplicada esta T.L. al triángulo de vértices (o,o), (2,5) y (6,3),
Solución
La matriz asociada a esta transformación lineal respecto de la base canónica de R2 es: produce una expansión a lo largo del eje Y.
Para ingresar los vértices seguimos un orden para que seaun contorno cerrado P Q R P, la primera fila corresponde a las abscisas y la segunda fila a las ordenadas.
% Código:
% Se ingresa en una matriz las componentes de los vertices de un triangulo en cada
% columna, repitiendo al final el primer vertice de manera que se cierre el triangulo
T=[0 2 6 0;0 5 3 0];
% La primera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje X
% Lasegunda fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Y
% Se guardan estas filas en las variables x, y para poder realizar la grafica del triangulo
x=T(1,:);y=T(2,:);
plot(x,y) % realiza la grafica del triangulo original
title('EXPANSION A LO LARGO DEL EJE Y')
A=[1 0; 0 5]; % introduce la matriz asociada a la transformacion lineal
Im=A*T; %Calcula la matriz Im cuyas columnas son las imagenes de los vertices del triangulo original
hold on % congela la ventana grafica
x1=Im(1,:);y1=Im(2,:); % x1,y1 son vectores fila que contienen las primeras y segundas componentes respectivamente de los vertices transformados
plot(x1,y1,'r') % dibuja el triangulo transformado y el trazo de este es de color rojo...