fisica

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Una función es creciente en un punto x0 cuando en un entorno suyo a incrementos positivos de la
variable independiente (∆x > 0) corresponden incrementos positivos de lafunción (∆y > 0):
f (x) − f (x o )
∆y
∆y
> 0 ⇒ Lím
= Lím
= f ' (x) > 0
∆x
x − xo
∆x →0 ∆x ∆x →0
Por el contrario, una función es decreciente en un punto x0 cuando en un entorno suyo aincrementos
positivos de la variable independiente (∆x > 0) corresponden incrementos negativos de la función (∆y < 0):
f (x) − f (x o )
∆y
∆y
< 0 ⇒ Lím
= Lím
= f ' (x) < 0
∆x
x − xo
∆x →0 ∆x ∆x →0El estudio del crecimiento de una función se resume por tanto al estudio del signo de la derivada, en
los intervalos en los que la derivada sea positiva la función será creciente, en los que seanegativa la función
será decreciente.

EXTREMOS RELATIVOS. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES
Teorema de Weierstrass. Un punto es máximo relativo si en todo entorno suyo es el valor mayor de
la función, porlo que a su izquierda la función es creciente (f’(x) > 0) y a su derecha es decreciente (f’(x) < 0)
por lo que en el máximo f’(x) = 0. De forma análoga se razona para el mínimo relativo, menor valorde la
función en un entorno, por lo que f’(x) = 0. En cuanto a la derivada segunda:
f ' (x) − f (x 0 )
f ' ' ( x ) = Lím
x − x0
x→x0
en el máximo, a su izquierda,
x − x0 < 0
x − x0
− 
⇒
<0 ⇒ f ' ' (x) < 0
x → x0 : 
f ' (x) − f (x 0 )
f ' ( x ) − f ( x 0 ) = f ' ( x ) > 0
a la derecha del máximo,
x − x0 > 0
x − x0
+ 
⇒
< 0 ⇒ f ' ' (x) < 0
x → x0 : 
f ' (x) − f (x 0 )f ' ( x ) − f ( x 0 ) = f ' ( x ) < 0
los resultados anteriores nos permiten caracterizar un máximo como un punto donde se cumple:
 f ' (x 0 ) = 0

f ' ' ( x 0 ) < 0
En el mínimo, de formaanáloga, se demuestra que se verifica:
 f ' (x 0 ) = 0

f ' ' ( x 0 ) > 0

Otra forma de calcularlo es por el criterio de Taylor.
Una función tiene un extremo relativo en un punto, sí, en ese...