Fisica

PAUTA CERTAMEN 2 CALCULO II (220041) 1.- a)

∫x
1

2

3

ln xdx

Por partes: u = ln x ⇒ du = Remplazando se tiene:
2

1 dx x

dv = x3 dx ⇒ v =
2

1 4 x 4

⎤ 2 x4 1 x4x4 x4 ⎤ x ln xdx = ⋅ ln x ⎥ − ∫ ⋅ dx = ⋅ ln x − ⎥ ∫ 4 4 16 ⎦1 ⎦1 1 4 x 1
2 3

1⎞ 1 15 ⎛1 = ( 4 ln 2 − 1) − ⎜ ln1 − ⎟ = 4 ln 2 − 1 + = 4 ln 2 − 16 ⎠ 16 16 ⎝4
b) T ( t ) = 20 + 75 ⋅ eLuego
30 t t − − ⎞ ⎤ 1 ⎛ 1 ⎡ P= 20 + 75 ⋅ e 50 ⎟ dt = 20t − 75 ⋅ 50 ⋅ e 50 ⎥ ⎢ ∫⎜ 30 0 ⎝ 30 ⎣ ⎠ ⎦0 30

−

t 50

El intervalo a considerar será: [ 0,30]

=

3 3 ⎤ 1 ⎛ − ⎞ − ⎞ 1 ⎡⎛600 − 3750 ⋅ e 5 ⎟ − ( 0 − 3750 ⋅ e0 ) ⎥ = ⎜ 4350 − 3750 ⋅ e 5 ⎟ ≈ 76, 4 ⎢⎜ 30 ⎢⎝ ⎥ 30 ⎝ ⎠ ⎠ ⎣ ⎦

La temperatura promedio del café durante los primeros 30 minutos será aproximadamente de76,4º.

2.-

y = 3 − 3x 2
Grafico:

y = 9 ( x − 1)

Eje y

Puntos de intersección ( 1, 0) ; (-4, -45) Área =

9 2 ⎤ 2 2 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∫ ⎣( 3 − 3x ) − ( 9 x − 9 )⎦ dx = ∫ ⎣−3x − 9 x +12⎦ dx = − x − 2 x + 12 x ⎥ = 6,5u.d .a ⎦
1 1 0 0 0

1

3.- Volumen del sólido generado al rotar la región y = x 2 + 4; x ≥ 0, Grafico:

y = 8, x = 0

Puntos de intersección: (0,8) , (2, 8) Vertice parabola (0,4) a) En torno al eje X:
8

capas cilíndricas

V = 2π ∫ y ⋅ y − 4dy ( u.d .v.)
4

b) En torno al eje Y: disco

V =π∫
4

8

(

y−4

)

2dy = π ∫ ( y − 4 ) dy ( u.d .v.)
4

8

4.- Longitud de la curva de ecuación: y =

x4 1 + 2 desde x = 1 hasta x = 2 8 4x

⎛ dy ⎞ L = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ 1
2

2

dy x 3 1 x61 1 ⎛ dy ⎞ = − 3 ⇒⎜ ⎟ = − + 6 dx 2 2 x 4 2 4x ⎝ dx ⎠ ⎛ x3 x6 1 1 x6 1 1 1 ⎞ ⎛ dy ⎞ 1+ ⎜ ⎟ = 1+ − + 6 = + + 6 = ⎜ + 3 ⎟ 4 2 4x 4 2 4x ⎝ 2 2x ⎠ ⎝ dx ⎠
2 2

2

Remplazando
2 2 ⎛ x3 ⎛ x31 ⎞ 1 ⎞ x4 1 ⎤ ⎛ dy ⎞ L = ∫ 1 + ⎜ ⎟ dx = ∫ ⎜ + 3 ⎟ dx = ∫ ⎜ + 3 ⎟ dx = − 2 ⎥ 2 2x ⎠ 8 4 x ⎦1 ⎝ dx ⎠ ⎝ 2 2x ⎠ 1 1 1⎝ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 33 ⎛ = ⎜ 2 − ⎟ − ⎜ − ⎟ = u.l. ⎝ 16 ⎠ ⎝ 8 4 ⎠ 16 2 2 2 2...