fisica

Relación con el MCU


Hay una conexión cercana entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme, (que es periódico pero no oscilatorio). El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme en cualquier diámetro. Para un mejor entendimiento del tema se debe comprobar que esa proyección ortogonal del movimiento circular uniforme (MCU) de unapartícula sobre un plano vertical es un M.A.S. Esta proyección se logra utilizando una fuente luminosa sobre el MCU.
En el M.A.S la aceleración  de la partícula es proporcional a su desplazamiento  desde su posición de equilibrio, y es de sentido contrario a su desplazamiento, es decir: ; Donde K es constante.


El movimiento de la proyección ortogonal de la partícula en un plano vertical, elmovimiento se sucede en un segmento de recta que coincide con el diámetro  de la circunferencia descrita. Para demostrar que el movimiento de dicha proyección ortogonal es un M.A.S. se tiene que probar que el cociente  es una constante para todos los valores de X.
Sea V  la rapidez de la partícula y  la aceleración centrípeta, la cual está dirigida hacia el centro de la circunferencia de radio R.
 Se proyecta el movimiento de la partícula P sobre el diámetro , donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro. 

P' se mueve con movimiento oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo largo del diámetro , es decir, cuando P da una vueltacompleta, P' dará una oscilación sobre el diámetro.
Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P , su proyección ortogonal sobre el diámetro  determina igualmente la posición, velocidad y aceleración de P'.


Observe que la aceleración centrípeta  se ha descompuesto en sus dos componentes rectangulares y  que como puede verse la segunda es paralela al diámetro .
Laaceleración centrípeta en el MCU: 
Los triángulos OPP' y el formado por los vectores   y , los cuales son semejantes. ¿Por qué? Ambos son triángulos rectángulos y tiene un ángulo en común (Vértice P), luego, sus lados respectivos son proporcionales:
 
;
reemplazando  y despejando a, la aceleración de P´

Como la rapidez (V) y el radio (R)

son constante, el cociente. Por lo que la anteriorecuación es de la forma
a = - k x
que indica que la aceleración  es la aceleración de P' es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a él.
Finalmente se puede expresar que el movimiento circular uniforme se puede considerar como una combinación de dos movimientos armónico simple.
Un movimiento armónico simple es la proyección de la trayectoria de un movimiento circular uniformesobre uno de los diámetros vertical u horizontal .


Período y Frecuencia de un M.A.S 
Partiendo de la rapidez del MCU
 despejando T se tiene:  de donde resulta que:
Elevando al cuadrado ; luego . La ecuación es valida para todas las formas del M.A.S. El signo (-) significa sentidos opuestos de  y x. Despejando el Período t:
; Por ser la frecuencia el valor inverso del período, resulta:

Enun movimiento armónico simple, el período y la frecuencia son independientes de la amplitud.
Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple.
Para deducir las fórmulas del movimiento armónico simple, se toma como apoyo el movimiento circular uniforme que origina el M.A.S, sobre uno de los diámetros, teniendo en cuenta que los dos movimientos tienen el mismo período (T) y que la amplitud del M.A.S, esigual al radio del MCU.
Los vectores , , etc del movimiento circular uniforme se descompone en dos componentes perpendiculares; con el objeto de formar triángulos rectángulos, pues para cálculos posteriores, tanto en la semejanza de triángulos como la definición de las funciones trigonométricas facilitan mucho los cálculos. La única condición es que una de las componentes sea paralela a la...