fISICA

Caída de una gota de lluvia con masa variable
Problema:
En un problema de propulsión de cohetes, la masa variable. Un problema similar es una gota de lluvia que cae a través de una nube de gotitasde agua, algunas de las cuales se adhieren a la gota aumentando su masa al caer. La fuerza sobre la gota es:
F_ext=dp/dt=m dv/dt+v dm/dt

Suponga que la masa de la gota depende de la distancia xque ha caído. Entonces, m=kx donde k es constante, y dm/dt=kv. Puesto que F_ext=mg, esto da:
mg=m dv/dt+v(kv)
O bien dividiendo entre k,
xg=x dv/dt+v^2
Ésta es una ecuación diferencial con soluciónde la forma v=at, donde a es la aceleración constante. Suponga que la velocidad inicial de la gota es cero.
A) Usando la propuesta para v, calcule la aceleración a.
B) calcule la distancia que lagota cae en t=3.00s.
C) Con k=2.00 g/m, calcule la masa de la gota en t=3.00s.
La masa de la gota
Hemos de hacer una suposición acerca de la forma en que la masa de gota se incrementa con eltiempo. Si la gota va absorbiendo las pequeñas gotitas que encuentra en su camino, entonces:
dm/dt∝(área)*(velocidad)∝πr^2=P_n πr^2 v=km^(2/3) v
πr^2 es el área transversal de la gota supuesta esféricaP_n es la densidad de la niebla
v es la velocidad de la gota
m es la masa de la gota, y P_a es la densidad del agua, m=densidad*volumen= P_a*(4/3)πr^3

El valor de la contante deproporcionalidad k es
k=(P_n π)/〖(P_a 4/3 π)〗^(2/3)
En general, supondremos que la razón del incremento de la masa de la gota con el tiempo de la forma
dm/dt=km^∝ v
Como la velocidad de v=dx/dt
dm/dt=km^∝dx/dt
Integramos esta ecuación con las condiciones iniciales, para X=0, m=m0
∫_m0^m▒〖m^(-∝) dm=∫_0^X▒kdx〗
m^(-∝)-m_0^(1-∝)=(1-∝)kx
m=((1-∝)kr+m_0^(1-∝) )^(1/((1-∝) ))
En esta ecuación nosproporciona la masa m dela gota en una función de la posición x.
Ecuaciones del Movimiento
Sobre la gota de masa m actúa una única fuerza que es su peso mg. La segunda ley de Newton aplicada a este...