fisica

NOLAN JARA JARA
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Al analizar un fenómeno del mundo real, no siempre es posible expresar una magnitud
como función matemática de una sola variable. Al contrario, es usual que una cantidad
dependa de dos o más variables independientes, las funciones de interés en ingeniería
dependerán en general de un gran número de variables. Este proyecto está dedicado aextender a funciones de más de una variable los conceptos de límite, continuidad y
derivabilidad que ya hemos visto en el curso de cálculo diferencial de funciones de una
variable.
Empezaremos proporcionando ejemplos de magnitudes que se describen mediante
funciones de varias variables y representaremos geométricamente en tres dimensiones
las funciones de dos variables.
Después introduciremos lasnociones topológicas necesarias para definir el concepto de
distancia, que nos permite definir bolas, entornos, conjuntos abiertos, conjuntos
cerrados, conjuntos compactos y puntos de acumulación.
Más tarde presentaremos el concepto de continuidad basándonos en la definición de
límite, e ilustraremos el cálculo de límites de funciones de más de una variable.
Aunque las reglas de cálculo sonlas mismas, en este caso tenemos mayor riqueza. Las
derivadas de las funciones de varias variables tienen mayor variedad y son más
interesantes debido a las distintas formas de interacción entre las variables
Una función de valor real, f, de x, y, z,… es una regla para obtener un nuevo número,
que se escribe como f (x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variablesindependientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables
independientes,
Una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así
sucesivamente.
Como las funciones de una variable, las funciones de varias variables se pueden
representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica(por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Ejemplos: funciones lineales, de interacción, y de distancia
Funciones lineales
Una función lineal de las variables x1, x2,..., xn es una función de la forma
f (x1, x2, ... ,xn) = a0 + a1x1 + ... + anxn
Donde a0, a1, a2,..., an son constantes.
Funciones de interacción
Si añadimos a una función lineal uno o mástérminos de la forma bxixj (b constante),
obtenemos una función de interacción de segundo orden.
Funciones de distancia
La distancia en el plano del punto P(x, y) al punto A(a, b) se puede expresar como
una función de las dos variables x y y:

1

NOLAN JARA JARA

x  a 2   y  a 2

d ( P, A) 

La distancia en el plano del punto P(x, y) al origen O(0,0) se expresa por

d ( P, O)  x2  y 2
La distancia en el espacio tridimensional del punto P(x, y, z) al punto A(a, b, c) se
expresa por

d ( P, A) 

x  a 2   y  a 2  z  c2

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1) Dados dos números cualesquiera x e y, su media aritmética es el número intermedio
entre ambos, es decir:

x y
2

En general, dados n números x1, x2, . . . , xn, su media aritméticaes el número:

m( x1, x2, , xn) 

x1  x2    xn
n

La media aritmética es, pues, una función M(x1, x2, . . . , xn) de n variables.
2) Dados dos números positivos x e y, su media geométrica es:

g ( x, y)  xy .
En general, dados n números positivos x1, x2, . . . , xn, su media geométrica se
define como:

g ( x1, x2, , xn)  n x1x2 xn
3) El centro de tres masas móvilesconocidas (m1, m2, m3) situadas sobre el eje OX
positivo es función de las posiciones de cada una de las masas en el origen x1, x2,
x3.

c( x1, x2, x3) 

m1x1  m2 x2  m3x3
m1  m2  m3

m1
X1

2

m2
x2

m3
x3

NOLAN JARA JARA
4) Un sistema de fiabilidad (o bien en circuitos eléctricos) funciona (la corriente pasa)
si hay algún camino activado para ir desde el principio (A)...