fisica

ECUACIONES

Introducción

E

l álgebra está íntimamente relacionada con el estudio de las ecuaciones y
en la práctica son muchos los problemas que se modelan y se resuelven a
través de una ecuación. En la Antigüedad, los babilónicos ya hacían álgebra; sin
embargo, la notación, o sea, la forma como ellos expresaban sus desarrollos dista
mucho de la usada en la actualidad.
Uno de losgrandes problemas fue que el alfabeto aún no había
sido inventado, por lo cual en esos tiempos no podían utilizarse letras
para representar las incógnitas y, en su lugar, usaban pequeños símbolos.
Las primeras ecuaciones se deben a Diofanto, quien utilizó de letras para
representar las incógnitas.
Es conveniente mencionar que la palabra “álgebra” se deriva del término
árabe al–jabr quesignifica “unir”. En la Edad Media un algebrista era un “pega–
huesos” o bien alguien que resolvía ecuaciones.
En esta unidad revisaremos los distintos tipos de ecuaciones, iniciando desde
la ecuación de primer grado con una incógnita (el caso más simple) pasando por
la ecuación de segundo grado con una incógnita incrementando la complejidad
al adicionar radicales; finalmente resolveremos sistemas deecuaciones de primer
grado que involucren otras variables.

5.1. Ecuaciones lineales
Una ecuación (del latín acquare que significa “igualar”) es una igualdad
que involucra variables; es, dicho de esta manera, un enunciado que asegura la
igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ecuación de primer grado
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es aquella en donde
el exponente decada una de las variables es 1. Tiene la forma general:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + … + an x n = b en donde las ai no son todas cero y representan
números reales al igual que b que también es un número real.
177

ÁLGEBRA

SUPERIOR

a1 , a2 ,..., an se llaman coeficientes; x1 , x2 ,..., x n se llaman variables
(incógnitas). La b se llama término independiente.
Una ecuación entera de primergrado es una ecuación lineal donde los
coeficientes y el término independiente son números enteros. Finalmente,
cuando el número de variables no es muy grande, se acostumbra utilizar las
últimas letras del alfabeto: x, y ó z

Ejemplo 1
a) –4x= 8 es una ecuación entera de primer grado con una incógnita “ x”.
El coeficiente de x es –4 y el término independiente es 8.
b) 3 x + 2 y = −5 es unaecuación entera de primer grado con dos
incógnitas: “x” y “y”. El coeficiente de x es 3, el de y es 2 y el término
independiente es –5.
c) –7x + 9y + 6z = –1 es una ecuación entera de primer grado con tres
incógnitas: “x” , “y” y “z”. El coeficiente de x es –7, el de y es 9, el de z
es 6 y el término independiente es –1.

5.1.1. Propiedades de la igualdad
La igualdad es una relación entrelos números reales que tiene las siguientes
propiedades:
Sean a, b, c, x números reales, entonces:
1. Propiedad simétrica
a = x es lo mismo que x = a, por ejemplo: –10 = x es lo mismo que
x = –10
2. Propiedad transitiva
Si x = a y a = b, entonces x = b, por ejemplo: x = 7 – 5, y 7 – 5 = 2, entonces
x=2

178

ECUACIONES

3. Si a = b, entonces a + c = b + c , por ejemplo: 3 = 2 + 1,3 + 2 = (2 + 1) + 2.
4. Si a = b, entonces a – c = b – c , por ejemplo: 3 = 2 + 1,
3 – 1 = (2 + 1) – 1.
5. Si a = b, entonces (a)(c) = (b)(c) , por ejemplo: 3 = 2 + 1,
(3)(2) = (2 + 1)(2).
6. Si a = b y x ≠ 0, entonces

a b
3 2 +1
= , por ejemplo: 3 = 2 + 1, =
x x
2
2

Cuando se encuentran todos los valores reales que pueden tomar las
variables de tal forma que se satisface laigualdad, entonces se ha encontrado
la solución de la ecuación, y sólo entonces puede decirse que la ecuación está
resuelta.

Ejemplo 2
x = –2 es solución de 3x – 2 = 7x + 6, ya que:
3(–2) –2 = 7(–2) +6
–6 – 2 = –14+6
–8 = –8

5.1.2. Solución de ecuaciones lineales
Se llaman ecuaciones lineales a las ecuaciones con una sola variable cuyo
exponente es 1.
Para resolver este tipo de...