Fisica

Límite y Continuidad de Funciones.
Eleazar José García. eleagarcia95@hotmail.com 1. Límite de una función. 2. Definición de límite de una función. 3. Infinitésimo. 4. Infinitésimos equivalente. 5. Límite por la izquierda. 6. Límite por la derecha. 7. Funciones que crecen sin límite. 8. Funciones que decrecen sin límite. 9. Límites indeterminados. 10. Continuidad de una función.

Límite de unafunción. La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función x3 − 1 f ( x) = ,x ≠1 x −1 Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dosconjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x). x se acerca al 1 por la izquierda ⇒⇐ x se acerca al 1 por la derecha
x f(x) 0,9 2,71

f (x) se acerca al 3 ⇒⇐ f (x) se acerca al 3
Figura 1
y 7 6 5 4 3 2 1
(1, 3)

0,99 2,9701

0,999 2,997001

1 ¿?

1,001 3,003001

1,01 3,03011,1 3,31

f

−1 ( x ) = x −1 x
3

x -3 -2 -1 -1 1 2 3

x3 − 1 , x ≠ 1 y como podemos observar, en dicha x −1 gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función g ( x) = x 2 + x + 1 menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador ysimplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos lím f ( x) = L.
La figura 1 es la gráfica de la función f ( x) =
x→a

Definición de límite de una función. Sea f una función definida en todo número de algúnintervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como lím f ( x ) = L , si para cualquier ε > 0 , no importa que tan pequeña sea, existe una δ > 0 tal que
x→a

si 0 < | x − a |< δ entonces | f ( x ) − L |< ε Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x seaproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia | f ( x) − L | puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a. En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que lím f ( x ) exista.
x →a

Ejemplos 1. 1) Utilicemos la definición para demostrar quelím(4 x − 5) = 3.
x→2

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier ε > 0 existe una δ > 0 tal que (A) si 0 < | x − 2 |< δ entonces | (4 x − 5) − 3 |< ε si 0 < | x − 2 |< δ entonces | 4 x − 8 |< ε si 0 < | x − 2 |< δ entonces 4 | x − 2 |< ε ε si 0 < | x − 2 |< δentonces | x − 2 |< 4 ε Entonces, si tomamos δ = se cumple la proposición (A). Esto demuestra que 4 lím(4 x − 5) = 3.
x→2

pertenecen al intervalo abierto (1,9975; 2 ) ∪ ( 2; 2,0025 ) verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:
0 < |1, 9976 − 2 | = | −0, 0024 | = 0, 0024 < 0, 0025 entonces

Tomando ε = 0, 01 , δ = 0,0025, luego, para esos valores de ε y δ , los números x que

| (4·1,9976 − 5) − 3 | = | 7,9904 − 8 | = | −0, 0096 | = 0, 0096 < 0, 01
Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

x3 − 1 2) Demostrar usando la definición de límite que lím = 3. x →1 x − 1

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1,...