fisica

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Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial se define sobre un campo de escalares, el cual usualmente
es R o C. De este modo se llamar´a espacio vectorial real, si el conjunto de escalares
son los n´umeros reales.
Definici´on 1.1
Espacio vectorial real: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicaci´on porun
escalar que satisfacen lo siguiente:
1. Si x, y ∈ V entonces
x + y ∈ V (cerradura bajo la suma).
2. ∀x, y, z ∈ V
(x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de vectores).
→
−
→
−
3. ∃ 0 ∈ V (donde 0 es vector) tal que ∀x ∈ V
→
−
→
−
x + 0 = x (donde a 0 se llama vector cero o id´entico aditivo).

4. Si x ∈ V ∃ − x ∈ V tal que
→
−
x + (−x) = 0 (donde a −x se lellama inverso aditivo).
5. Si x, y ∈ V , entonces
x + y = y + x (ley conmutativa de los vectores).
6. Si x ∈ V y α es un escalar, entonces
αx ∈ V (cerradura bajo la multiplicaci´on por un escalar).
7. Si x, y ∈ V y α es un escalar, entonces
α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva).
8. Si x ∈ V y α y β son escalares, entonces
(α + β )x = αx + β x (segunda ley distributiva)
9. Si x ∈ V ,αy β son escalares, entonces
α(β x) = β (αβ )x (ley asociativa de la multiplicaci´on por escalares).
10. ∀x ∈ V, 1x = x.
*Para demostrar que los conjuntos no son espacios vectoriales, basta con demostrar que alguno de los axiomas no se cumple.

Ejemplos
• El espacio Rn es decir V = {(x1 , x2 , ...., xn )|xi ∈ R i = 1, 2, 3, ..}.
• Un espacio vectorial real trivial es V = {0}.
• Tomemos elconjunto V = {1} que no es un conjunto vectorial, observemos
que si x = 1, y = 1 ∈ V, x + y = 1 + 1 no cumple el axioma de cerradura, por
lo tanto V = {1} no es un espacio vectorial.
• Sea V = {(x, y)|y = 2x + 1, x ∈ R}.
Supongamos que (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) ∈ V, ⇒ (x1 , y1 )+(x2 , y2 ) = (x1 +x2 , y1 +y2 )
Por demostrar que V no cumple el axioma de la cerradura bajo la suma es decir
quey1 + y2 = 2(x1 + x2 ) + 1 = 2x1 + 2x2 + 1, pero y1 = 2x1 + 1 y y2 = 2x2 + 1
de manera que y1 + y2 = (2x1 + 1) + (2x2 + 1) = 2x1 + 2x2 + 2
Por lo tanto se concluye que (x1 + x2 , y1 , y2 ) no est´a en V ∀(x1 , y1 ) y (x2 , y2 )
∈V
• El espacio vectorial real P≤n (x), el conjunto de polinomios de grado menor o
igual que n.

• El espacio vectorial real Pn (x), el conjunto de polinomios degrado igual que n
no es un espacio vectorial, decir cual condici´on no se cumple.
Teorema 1.2 Sea V un espacio vectorial. Entonces
1. α0 = 0, ∀α ∈ R.
2. 0x = 0 ∀x ∈ V.
3. Si αx = 0, entonces α = 0 o x = 0.
4. (−1)x = −x ∀x ∈ V.
Demostraci´on
1) Por el axioma 3 de un espacio vectorial, 0+0 = 0; y del axioma 7, α0 = α(0+0) =
α0 + α0(1)
Si sumanos −α0 en ambos lados de la ecuaci´on 1 y usandola ley asociativa de la
suma de vectores, obtenemos
α0 + (−α0) = (α0 + α0) + (−α0)
0 = α0 + (α0 + (−α0))
0 = α0 + 0

0 = α0.
2) Usaremos la misma prueba que en la primer demostraci´on. Comenzando con
0 = 0 + 0 pero utilizando el axioma 8 para ver que 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x llegando
a que 0 = 0x (siguiendo los pasos de la demostraci´on anterior.)
3) *Sea αx = 0. Si α = 0, se multiplicanambos lado de la ecuaci´on por (1/α)
(1/α)(αx) = (1/α)0 = 0. (por ∗) . Pero por el axioma 9, se da que (1/α)(αx) =
1x = x de manera que x = 0.
4) Usamos el hecho de que 1 + (−1) = 0. Por las propiedades ya demostrada podemos decir que, 0 = 0x = (1 + (−1))x = 1x + (−1)x = x + (−1)x, sumamos −x en
ambos lados tal que
−x = 0 − (−x) = x + (−1)x + (−x) = x + (−x) − (−1)x = 0 − (−1)x = (−1)x, porlo que podemos decir que −x = (−1)x.

Ejercicios
Demuestre si las siguientes afirmaciones son verdaderas y en caso de ser falsas, proponga un contra ejemplo
• El conjunto de vectores (x, y) ∈ R2 donde y = −3 es un espacio vectorial real.
• El conjunto de vectores (x, y, z) ∈ R3 con 2x−y−12 = 0 es un espacio vectorial
real.
• El conjunto de polinomios de grado 3 con + (suma usual de...