Fisica

Departament de F´ ısica i Enginyeria Nuclear (EET)

Introducci´ al tractament de dades o
1 C`lcul d’errors a

Les lleis de la F´ ısica expressen relacions entre magnituds com ara longitud, temps, for¸a, energia o temperatura. Per aquest motiu, la capacitat de mesurar c aquestes magnituds ´s un requisit de la F´ e ısica. Per mesurar una magnitud, s’ha de comparar amb un cert valor de lamateixa que prenem com a refer`ncia. A aquest valor se l’anomena unitat. Per exemple, e s´n unitats el metre, el kilogram o el segon. o No obstant, el valor exacte d’una magnitud (que anomenarem X) ´s, en e realitat, una abstracci´ matem`tica. Mai podrem con`ixer amb una precisi´ o a e o absoluta quant val aquest valor. Aix` es degut, en primer lloc, a que els aparells o sempre tenen una resoluci´limitada. Tamb´, factors que estan fora de control o e (condicions ambientals, els reflexos de la persona que fa la mesura, . . . ) afecten la lectura que ens d´na l’instrument i, fins i tot, la pr`pia magnitud que volem o o mesurar. A la pr`ctica, doncs, sempre mesurarem un valor (x) que no coincideix amb a el valor real de la magnitud (X). Definirem error absolut com la difer`ncia entre e aquests dosnombres ǫa ≡ x − X (1) i error relatiu com la relaci´ entre l’error absolut i el valor que hem mesurat o ǫr ≡ ǫa x−X = . x x (2)

L’error absolut d’una magnitud t´ les mateixes unitats que aquesta. En canvi, e l’error relatiu ´s un nombre adimensional, que serveix per donar-nos una idea e de la qualitat de la mesura. Aquestes definicions matem`tiques no es poden emprar per calcular l’error aperqu` desconeixem X. Per aquesta mateixa ra´, mai podrem calcular l’ere o ror d’una manera exacta. S´ ´s possible, per`, fer una estimaci´ aproximada ı e o o d’aquest error.

1

Estimar l’error vol dir que, a la pr`ctica, sempre expressarem el resultat de a qualsevol mesura en forma d’entorn x±ǫ (3)

i amb aix` indicarem que ´s “molt probable” que el valor veritable X es trobi a o e dintre del’entorn (x − ǫ, x + ǫ). De fet, sempre que expressem num`ricament una magnitud estem indicant e de forma impl´ ıcita un entorn, atenent al nombre de xifres significatives que utilitzem. Qualsevol xifra ´s significativa tret dels zeros a l’esquerra. Per exemple, e 2.50 t´ 3 xifres significatives mentre que 0.003 nom´s en t´ una. Si no s’espee e e cifica un entorn expl´ ıcitament, com a l’Eq. 3, s’ent´nque ǫ val la meitat que e una unitat de l’ordre de la darrera xifra significativa. Per exemple, 2.5 indicaria l’entorn (2.45, 2.55). En canvi, 2.50 indicaria l’entorn (2.495, 2.505). En qualsevol cas, sempre ´s recomanable indicar un entorn expl´ e ıcitament. El procediment per estimar l’error dep`n del tipus de mesura: e • Mesures directes que es fan una sola vegada. • Mesures directes que es fan Nvegades. • Mesures indirectes. El significat de “molt probable” dependr` de la t`cnica concreta que utilita e zem per estimar l’error. Aquest ´s un dels punts que discutirem especialment. e Abans de continuar, parlem breument de l’anomenat error de zero. Es d´na o quan l’escala d’un instrument est` despla¸ada i, per aquest motiu, totes les a c mesures tenen una quantitat (la mateixa) de m´s o demenys. No es tracta e d’un error en el sentit estricte de la paraula doncs si ens adonem de la seva exist`ncia despr´s d’haver realitzat les mesures, ´s possible recuperar els valors e e e correctes. Nom´s caldr` restar la lectura de l’instrument quan estem mesurant e a una magnitud zero a totes les dades.

1.1

Mesures que es fan una sola vegada

En principi, sempre que sigui possible,s’intentar` fer m´s d’una mesura. Es a e pot donar, per`, el cas en qu` una mesura sigui destructiva i nom´s es pugui o e e fer una sola vegada. Tamb´ podria passar que el resultat de totes les mesures e realitzades fos id`ntic, de manera que sigui innecessari fer mesures addicionals. e En ambd´s casos, aplicarem la seg¨ent t`cnica. o u e

2

2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12 cm

Figura 1:...