Fisica

“Física III”

Ing. Ernesto Cruz Mateo

Unidad I

“Análisis Vectorial”
Capitulo 1

Hernández Reyes Víctor Hugo
Ramírez Armijo Gustavo
Ramos Aguilar Miguel Ángel
Torres Tapia Andrés Esaú

Ingeniería en Electrónica H.H. Cuautla Mor. 30 de agosto de 2010
Análisis vectorial

1.1 notación vectorial

La definición clásica de vectores define aun vector como aquella cantidad en la que cumple con las siguientes características:
a). Tiene magnitud 
                                      
b). Dirección. Indicado el ángulo con respecto a un eje (por ejemplo, la horizontal) 

c). Sentido. Indicado por la dirección de la flecha.

Para distinguir vectores (cantidades que tienen magnitud y dirección) de escalares (cantidades que tienensolo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un vector unidad, de valor absoluto (o magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto.
Aa=AA oAA
Donde A=A=A*A
Mediante los vectores unidad ax ay y az a lo largo de los ejes x,y yz de un sistema de coordenadas cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en forma de componentes:
A=Axax+Ayay+Azaz
1.2 Algebra vectorial
1. Los vectores pueden sumarse y restarse:
A±B=Axax+Ayay+Azaz±(Bxbx+Byby+Bzbz)
=Ax±Bxax+Ay±Byay+(Az+Bz)az

2. Las leyes asociativa, distributiva y conmutativa se aplican
A+B+C=A+B+C
kA+B=kA+kB (k1+k2)A=k1A+k2A
A+B=B+A

3. Elproducto escalar de dos vectores es, por definición,
A*B=ABcosϴ

Donde ϴ es el ángulo menor entre A y B. Con la representación de componentes se puede demostrar que:
A*B=AxBx+AyBy+AzBz
A*A=A2=Ax2+Ay2+Az2

4. El producto vectorial de dos vectores es, por definición,

A x B=(senϴ)an

Donde ϴ es el angulo menor entre A y B y an es un vector unidad normal al plano determinado por A y B cuandoestos parten de un punto común. Existen dos vectores normales a este plano, asi que se necesita determinar uno para mayor claridad. El vector normal que se selecciona es aquel que avanza en la misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es rotado hacia B. debido a este requisito de dirección, la ley conmutativa no se cumple para el producto vectorial. En cambio, se cumple que:

A xB=-A x B

Desarrollando el producto vectorial en forma de componentes, tenemos:

A x B=(Axax+Ayay+Azaz) x (Bxax+Byay+Bzaz)
=AyBz-AzByax+AzBx-AxBzay+(AxBy-AyBx)az

Lo que se expresa convenientemente como un determinante:
A x B=axayazAxAyAzBxByBz
1.3 sistemas de coordenadas
Un problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede expresarse y resolverse en el sistema familiar decoordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrara la simetría y, en muchos casos, será innecesariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas cartesianas, se usaran los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias.
a) Cartesianasb) cilíndricas c) esféricas

Un punto P queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x,y,z), en circular cilíndrico (r,Ф,z) y en esférico (r,ϴ,Ф). El orden de especificación de als coordenadas es importante y debe seguirse cuidadosamente. El angulo Ф es el mismo en los sistemas esféricos y cilíndricos. Pero, en el orden de las coordenadas, Ф aparece ensegundo lugar en el cilíndrico y en tercer lugar en esférico, el mismo símbolo r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas r mide la distancia desde el origen del eje z hasta el punto en el plano normal del eje z, mientras que en sistema esférico, r mide la distancia del origen al punto. El contexto del problema debe...