Fisica

´ ALGEBRA I. HOJA 2
Nota: Las hojas est´n colgadas tambi´n en la p´gina web de del curso a e a http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/mzambon/WS12.html 1. Probar que el tri´ngulo formado por lospuntos (-3, 5, 6), (-2, 7, 9) y (2, 1, 7) es un tri´ngulo a a rectangulo. Hallar los otros ´ngulos. a 2. Probar que los puntos (2, 1, 4), (1, -1, 2), (3, 3, 6) est´n en la misma recta. a Resolver losEjercicios del libro (LADW) en las p´ginas 5 (del 1.1 al 1.6) y 11 (del 2.1 al a 2.6). 3. ¿Cuales de las siguientes familias de vectores forman un sistema de generadores de R3 ? 1. {(1, 2, 3), (1, 2,5)} 2. {(1, 2, 3), (1, 2, 5), (0, 0, −4)} 3. {(1, 2, 3), (1, 2, 5), (0, 0, −4), (1, 1, 1)} 4. ¿Cuales de las 3 familias de vectores que aparecen en el ejercicio anterior son linealmente independientes?5. ¿Cuales de las 3 familias de vectores que aparecen en el ejercicio anterior forman una base de R3 ? 6. Dado el espacio vectorial complejo C2 , determinar si la familia de vectores {(1, 1+2i), (i,−2+ i)} es una base de C2 . 7. Sea L la recta que pasa por (-2, 1, 3) y (1, 2, 4). Hallar el punto de L m´s pr´ximo al a o origen, y la distancia m´ ınima. Respuestas: (−16/11, 13/11, 35/11), 150/11. 8.Hallar el area del tri´ngulo con vertices (3, 0, 2), (6, 1, 4), (2, 1, 0). ´ a 9. Comprobar que ((a, b), (c, d))1 := ac − 2ad − 2bc + 5bd define un producto escalar en el plano real. 10. Calcular lasnormas de los vectores u = (1, 2) y v = (4, 5) con respecto al producto escalar habitual (·, ·)h y con respecto al producto ((a, b), (c, d))1 = ac − 2ad − 2bc + 5bd. Calcular tambi´n (u, v)h y (u, v)1. e 11. Sea Mm,n (R) el espacio de matrices m×n sobre R, sea B t = B T la matriz traspuesta de B, y sea tr(A) la traza de la matriz cuadrada A = (aij )n , definida mediante tr(A) := n aii . i,j=1 i=1Probar que la traza define un producto escalar en Mm,n (R) mediante (A, B) := tr(B t A). 12. Probar que 0 0 0 0 1 0 0 1 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1 T con producto escalar (A, B) = tr(B A). 1 es una base...