Fisica

EL FLUJO DE RICCI Y SU ROL EN LA
CONJETURA DE POINCARÉ

Joaquín González Álvarez

Imagen de portada de Science, diciembre 2006

Desde que se conoció la noticia de la solución
de la Conjetura dePoincaré y las referencias al
Flujo de Ricci, recurso matemático introducido
en el contexto por Richard S. Hamilton, se ha
despertado gran curiosidad por conocer sobre
éste y algo que ha llamado laatención en la
literatura al respecto es la presentación del
tensor de Ricci como relacionado con el
operador laplaciano, y todavía no se ha visto
en los artículos consultados al Flujo como una
ecuacióndiferencial de forma análoga a la del
calor ni una solución para g del Flujo, análoga a
la de este tipo de ecuación.

En lo que sigue pretendemos aclarar los aspectos fundamentales del tema.
Escribo elFlujo de Ricci así:
R00 = - ½ ∂tg00
Donde el subíndice t indica derivada parcial respecto al tiempo y donde R tensor de
Ricci y g componente del tensor métrico. He obviado los subíndices tensoriales enlo
que sigue para agilizar el procesamiento del texto.
Utilizo las siguientes relaciones de la TGR:
R= (1/c2)∆Φ

(1)

g = -1 - 2Φ/c2

(2)

(Φ potencial gravitatorio)
tomadas de “Teoría Clásica de losCampos” de Landau y Lifshhitz, Editorial Reverté,
pags.370 y 369 en ese orden (fijarse que en ese libro el subíndice de R es con los dos
ceros dispuestos verticalmente de ahí mi cambio de signo), paraexpresar el Flujo por

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lo cual procedo así: aplico a ambos miembros de (2) el operador laplaciano ∆ con lo
cual llego a: ∆φ=(-c2/2)∆g lo que puesto en (1) da R = (-1/2)∆g y realizando estasustitución en el Flujo de Ricci tendremos:
(-1/2)∆g = (-1/2) ∂tg
obtenemos una expresión que muestra las características de una ecuación diferencial
para el Flujo de Ricci que no se evidencian a “simplevista” en la expresión usual del
mismo antes expuesta. Esta es la expresión que propongo para el Flujo de Ricci:

∆g= ∂tg

(3)

Se advierte la analogía con la ecuación del calor: ∆u=ut..
Pasamos ahora...